附录Ⅰ平面图形的几何性质

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附录Ⅰ平面图形的几何性质第一节　静矩和形心定义:图形对z轴和y轴的静矩（或面积矩，或一次矩）:平面图形的静矩不仅与图形的大小和形状有关，还与坐标轴的位置有关。同一平面图形对于不同的坐标轴，其静矩不同。静矩的数值:正，负，零。静矩的量纲:[L]3均质等厚薄板的重心坐标,也就是平面图形形心坐标公式 若Sz=0和Sy=0，则yC=0和zC=0。可见，若图形对某轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心；反之，若某轴通过图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零。若已知图形的面积A及其对z轴和y轴的静矩时，即可确定此图形的形心坐标(yC、zC)。若已知图形面积A及其形心坐标(yC、zC)时，即可计算此图形对z轴和y轴的静矩。 当一个平面图形是由若干个简单图形（例如矩形、圆形、三角形等）组成时，根据静矩的定义，组合图形对某轴的静矩应等于其各组成部分对该轴静矩之和，式中，Ai、yiC、ziC分别表示各个简单图形的面积和形心坐标，n为简单图形个数例Ⅰ-1试求图示三角形对z轴和y轴的静矩，并确定图形形心C的位置。组合图形形心坐标的计算公式: 解:取平行于z轴的狭长条作为微面积dA，则由静矩定义得图形的形心坐标为oyzzCzdzbydyyChb(y)h(y) 例Ⅰ-2确定图Ⅰ-3所示L形平面图形的形心C的位置。解:将图形看作是由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成的，选取坐标系如图所示，每一矩形的面积和形心坐标分别为120oyzC(zC,yC)802020平面图形的形心C的坐标为: 第二节　惯性矩和惯性积定义:图形对z轴和y轴的惯性矩（或二次矩）:结论：（1）取值:Iz、Iy和Ip恒为正值；Iyz可能为正、负或零.图形对z、y轴的惯性积:图形对坐标原点O的极惯性矩: （2）惯性积等于零:图形对包含对称轴的任一对正交轴的惯性积必为零。（3）极惯性矩与对正交坐标轴的惯性矩关系:（4）组合图形:（5）量纲为长度的四次方。yzzyyzo 例Ⅰ-3试求图示矩形截面图形对其形心轴z、y的惯性矩Iz、Iy。解:取与z轴平行的狭长条（图中阴影线部分）为微面积，则dA=bdy。矩形截面对z轴的惯性矩为再取与y轴平行的狭长条为微面积，同理可得矩形截面对y轴的惯性矩为yzybhdyo 解:在圆形截面上距圆心为ρ处取宽度为dρ的圆环为微面积，则dA=2πρdρ，圆形截面对圆心的极惯性矩为因为圆形截面是中心对称的图形，所以截面对z轴和y轴的惯性矩相等，即Iz=Iyyzdρodρ例Ⅰ-4试求图示圆形截面和圆环形截面图形对圆心的极惯性矩Ip以及对各自形心轴z、y的惯性矩Iz、Iy。 同理可得圆环截面对圆心的极惯性矩为对形心轴z、y的惯性矩为yzdρodρD 惯性半径:图形对某轴的惯性矩与图形面积之比的平方根，称为图形对该轴的惯性半径，用i表示，矩形截面图形，其对z轴和y轴的惯性半径为圆形截面图形的惯性半径为 第三节平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式oyzzCzbyayCCyCzC 例Ⅰ-5试求图示T形截面图形对其形心轴zC的惯性矩IzC。（2）计算各分图形对图形形心轴zC的惯性矩(IzC)i。ozyCCzC1201002020yC解:(1)确定图形形心坐标。 （3）计算组合图形对形心轴的惯性矩IzC。ozyCCzC1201002020yC 例Ⅰ-6试求图示三角形OBD对z、y轴和形心轴zC、yC的惯性积Izy、IzCyC。解:三角形斜边BD的方程式为取微面积三角形对z、y轴的惯性积Izy为zoyb/3zdzbydyh/3hzCyCC由惯性积的平行移轴公式 第四节转轴公式平面图形对过同一点两对坐标轴的惯性矩和惯性积之间的关系。oyzzdAy1z1yy1z1上式右端的各项积分分别为并且: 因此同理可以证明:平面图形对于通过同一点的任意一对正交轴的两惯性矩之和为一常量。 第五节　主惯性轴和主惯性矩图形对z0、y0轴的惯性积Iz0y0=0，这一对轴z0、y0称为主惯性轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。α0所确定的坐标轴即主惯性轴，图形对其惯性矩为最大值或最小值，亦即对通过O点的所有轴的惯性矩中，两个主惯性矩一个是最大值，而另一个是最小值。由此可求出相差90°的两个角度α0，从而确定主惯性轴的位置。将求惯性矩Iz1的式子对α取导数，并令其为零 过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。图形对于对称轴的惯性积等于零，而形心又必然在对称轴上，所以图形的对称轴就是形心主惯性轴。如果这里讨论的平面图形是杆件的横截面，则截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面，称为形心主惯性平面。纵向对称面就是形心主惯性平面。主惯性矩的计算公式为 非对称纯弯曲：若梁没有对称轴,但y、z轴为其形心主惯性轴。当纯弯曲外力偶矩作用于形心主惯性平面xy内时，以z轴为中性轴，公式σ=Ey/ρ，仍能满足所有静力平衡方程。即这种情况下仍能用公式σ=My/Iz计算横截面上的应力。确定组合图形形心主惯性轴位置和形心主惯性矩步骤：(1)确定组合图形的形心位置。(2)计算组合图形对形心轴的惯性矩和惯性积。(3)确定组合图形的形心主惯性轴和计算形心主惯性矩。 例Ⅰ-7试确定图示Z形截面图形的形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩。解(1)确定图形形心位置。因图形是反对称的，故形心在对称中心O点。(2)求对形心轴z、y的惯性矩和惯性积。为此，将图形分割为三个矩形，则整个图形对z、y轴的惯性矩和惯性积为 （3）确定形心主惯性轴位置。 （4）计算形心主惯性矩。ozyCCzC1201002020yC2060练习：计算图形对形心轴zc的惯性矩IzC。