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时间：2024-08-29
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第二节边缘分布与独立性 FX(x)=P(Xx)=P(Xx,Y<+)=F(x,+)称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；一、边缘分布1、定义3.2.1=P(Xx,Y<+)=FX(x)设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y) FY(y)=P(Yy)=P(X<+,Yy)=F(+,y)称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数. 1)离散型若(X,Y)的联合分布律为称为(X,Y)关于X的边缘分布律。并记为2、分离散型与连续型两种情况考虑 如下表： 例1袋中有2只白球和3只黑球，现进行有放回地取球，定义下列随机变量：试给出(X,Y)的联合分布与边缘分布。若采用不放回取球，情况又怎样？ 不放回时的联合分布列：联合分布唯一确定边缘分布，反之不成立。 2)连续型 求(1)c的值；（2）两个边缘密度。=5c/24=1,c=24/5解：(1)由确定C例2设(X,Y)的概率密度是 例2设(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.注意积分限注意取值范围xy01y=x 例2设(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.注意积分限注意取值范围xy01y=x 即 例3：设二维r.v.（X，Y）的二维联合概率密度函数为：求（X，Y）关于X及Y的边缘分布密度. 二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布. 在求连续型r.v的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限. 由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.那么要问，在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？请注意联合分布和边缘分布的关系: 二、独立性两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.两随机变量独立的定义是： 用分布函数表示,即设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.可推广到多维的情况. 若(X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有例1中的X与Y是否独立？ 其中是X,Y的联合密度，几乎处处成立，则称X,Y相互独立.对任意的x,y,有若(X,Y)是连续型r.v，则上述独立性的定义等价于：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.分别是X的边缘密度和Y的边缘密度. 例4设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解：x>0即：对一切x,y,均有：故X,Y独立y>0 若(X,Y)的概率密度为情况又怎样？解：0
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