化工问题的建模与数学分析方法 化工数学2

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第二章常微分方程1、二阶线性常系数方程的解法2、二阶变系数方程的级数解法3、一阶微分方程组的矩阵解法4、稳定性问题分析 第二章常微分方程——二阶常系数方程一、二阶常系数方程的解法2dydyaayf(x)212dxdx1。齐次方程通解x设yAe2得a1a20 第二章常微分方程——二阶常系数方程Ø相异实根yce1xce2x12Ø共轭复根xye(ccosxcsinx)12Ø重根ye1x(ccx)122。非其次方程特解：比较系数法 第二章常微分方程——二阶变系数方程二、二阶变系数方程的解法1、级数解法22dydyxxF(x)G(x)y02dxdx广义幂级数ncyanxn0代入方程，比较系数法确定参数c和an 第二章常微分方程——二阶变系数方程设2F(x)FFxFx0122G(x)GGxGx012代入，得nc2ncan(nc)(nc1)x(F0F1xF2x)an(nc)xn0n02nc(G0G1xG2x)anx0n0 第二章常微分方程——二阶变系数方程首项xc的系数为0——指标方程2c(F1)cG000第n项xn+c的系数为0——递推公式2(nc)(F01)(nc)G0anF(n1c)Ga11n1F(n2c)Ga22n2FcGa0nn0 第二章常微分方程——二阶变系数方程由指标方程的第一根c=c1可以得到方程的第一个解Ø当c1－c2不为整数或0时，由常规方法可得第二解。Ø当c1、c2为重根时，第二解为yy2ccc1Ø当c1－c2为整数时，第二解为yccy22cc2c 第二章常微分方程——二阶变系数方程2。Bessel方程及其级数解22dydy22xx(xk)y02dxdx称为k阶Bessel方程。采用幂级数解法，得首项系数为0的指标方程2c(c1)ck0ck,ck12 第二章常微分方程——二阶变系数方程递推公式an2an(nck)(nck)nn(1)a01(k1)a2n2n2n!(nk)(nk1)()(1k)4n!(nk1)第一解12nkn(1)xk2y12(k1)a0n0n!(nk1) 第二章常微分方程——二阶变系数方程Ø第二解分为以下三种情况i)k为分数yxAJxBJxkkii)k=0an2an2(nc)n2nca(1)x0y(x,c)222n0(2nc)(2nc2)()(2c) 第二章常微分方程——二阶变系数方程n12nya0(1)(x)1112y22lnx1cc0n0(n!)23nn12n(1)(x)211a0J0(x)lnx2(1)n1(n!)2nyBY(x)20 第二章常微分方程——二阶变系数方程iii)k为整数y(ck)y(x,c)2ckck121B(kn1)!12nky2BYk(x)BlnxJk(x)(x)2n0n!2n12nk(1)(x)B2111111n0n!(nk)!2n2nkyAJ(x)BY(x)kk 第二章常微分方程——二阶变系数方程3、Legendre方程与Legendre函数22dydy1x2xll1y02dxdx设ny(x)anxn0代入，得nan2(n2)(n1)ann(n1)l(l1)x0n0 第二章常微分方程——二阶变系数方程递推公式n(n1)l(l1)aa(n0,1,2,)n2n(n2)(n1)根据幂级数收敛判别法知，在x=±1处级数发散，但物理上函数又是有界的，因此只有参数l取整数才能保证级数在x=±1处收敛，此时级数成为Legendre多项式ll1或22n(2l2n)!l2nP(x)(1)xlln02n!(ln)!(l2n)! 第二章常微分方程——二阶变系数方程P(x)1,P(x)x011212P(x)(3x1),P(x)(5x3x)2322142153P(x)(35x30x3),P(x)(63x70x15x)4588Ø性质Bessel函数、Legendre函数均为正交函数族，满足正交条件，可以作为函数基将任意分片光滑的函数展开成Fourier级数，分别称为Fourier－Bessel级数和Fourier－Legendre级数。 第二章常微分方程——一阶常系数方程组三、一阶常系数方程组的矩阵解法dy1ayayayb1111221nn1dtdy2ayayayb2112222nn2dtdynayayaybn11n22nnnndt齐次方程yAy 第二章常微分方程——一阶常系数方程组设tyxe代入方程得ttxeAxeAIx0detAI0从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵 第二章常微分方程——一阶常系数方程组Yte1tx1,e2tx2,，entxn通解ytcx1e1tcx2e2tcxnent12n或y=Yc常数c由初始条件确定 第二章常微分方程——线性稳定性分析四、线性稳定性分析方法Ø稳定性（stability)——系统的一种动态特性，指偏离定常状态后能否自动返回该定常态的性质,系统抗干扰能力的度量。Ø定常态（steadystate)——稳态（与瞬态对应），系统不随时间变化的某个状态。Ø稳定态（stablestate)——稳定的定常态。稳定——差之毫厘，失之毫厘不稳定——差之毫厘，失之千里 第二章常微分方程——线性稳定性分析流动的稳定性——雷诺实验、圆柱型水流反应器的热稳定性——飞温与熄火平行平板间的热对流稳定性——Benard现象压杆、板壳的屈曲稳定性Ø稳定性分析方法线性稳定性分析：小扰动的线性化动态分析，获得失稳判据。非线性稳定性理论：分叉、混沌，非线性科学问题。 第二章常微分方程——线性稳定性分析1、线性稳定性分析方法目的——获取失稳判据；方法——稳态附近对小扰动线性展开，由特征根确定Ø非线性动力系统dyf(y)dt定常态f(ys)=0设x(t)为小扰动，令y(t)=ys+x(t) 第二章常微分方程——线性稳定性分析代入原方程，泰勒展开，保留线性项dxfAxiaijdtyj通解xtcx1e1tcx2e2tcxnent12nØ稳定性判别若A的特征根都是负的，则零解是渐近稳定的；若至少有一个根的是正的，则系统是不稳定的；若都为零，则不定。 第二章常微分方程——线性稳定性分析因此，线性稳定性分析的问题转化为线性化方程的矩阵A的特征根的正负号判别问题。Ø如何根据A得到稳定性判据？Routh-Hurwitz系数判别法。特征根方程nn1n2ØRoutha方0法：a1a2an1an0如果系数aj不同号，或某些系数为零，则方程必然有大于等于零的根，系统不稳定。 第二章常微分方程——线性稳定性分析ØRouth－Hurwitz判定行列式aaa,a,1000112aa32aa00aa01010aaaaaaa,321033214aaaaaaa5432543aaaa7654aa010aa032annn1aaa2n1,2n2,n 第二章常微分方程——线性稳定性分析Routh指出，若采用如下的判定函数RiR0=△0,R1=△1,R2=△2/△1,…,Rn=△n/△n-1=an则当所有的判定函数为正值时，系统是稳定的，否则是不稳定的。Hurwitz则证明了以下定理：实系数的n次代数方程的一切根的实部都是负数的充分必要条件是所有判定行列式均大于0。 第二章常微分方程——线性稳定性分析2、稳态点的分类dx1axax111122dtdx2axax211222dt2t0r121,2trtr42 第二章常微分方程——线性稳定性分析1）tr2－4>0，>0：12>0，稳态点为结点2）tr2－4>0，<0：12<0，稳态点为鞍点 第二章常微分方程——线性稳定性分析3）tr2－4<0，tr0：1，2为复数，稳态点振荡焦点4）tr＝0，>0，1，2都是纯虚数稳态点为中心点 第二章常微分方程——线性稳定性分析3、化学反应器的热稳定性dcAVF(cc)VrinAAdtdTVcFc(TT)V(H)rQ(T)ppinAdt取x=cA－cAs,y=T－Tsdxx(rr)AAsdtdyy(rr)[Q(T)Q(T)]AAsrrsdt 第二章常微分方程——线性稳定性分析将反应项与移热项线性展开dxrrAA1xydtcTAssdyrrdQAArx1ydtcTdTAsss特征根方程2t0r 第二章常微分方程——线性稳定性分析Ø渐近稳定性条件a)斜率条件——系统移热曲线的斜率必须大于系统放热曲线的斜率rdQrArA11cdTTAsssb)动态条件rdQrArA11cdTTAsss 第二章常微分方程——线性稳定性分析斜率条件的物理解释 谢谢