化工问题的建模与数学分析方法化工数学ppt课件.ppt

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1、化工问题的建模与数学分析方法——ModellingandAnalyticalMethodsforProblemsinChemicalEngineering第四章二阶偏微分方程与分离变量法1、二阶方程的分类2、分离变量法3、特征值理论4、特殊函数的应用5、典型问题分析第四章二阶偏微分方程——概述化学工程中常见的PDE对流－扩散－反应方程常微分方程：求通解，初值定积分常数；一阶偏微分方程：求通解，初值定任意函数；二阶偏微分方程：从问题出发确定求解方法。第四章二阶偏微分方程——概述二阶导数项占优时，一般采用以下两种方法求解分离变量

2、法：适用于有限空间区域；积分变换法：适用于无限空间区域；均化为常微分方程求解。第四章二阶偏微分方程——方程的分类§1二阶偏微分方程的分类令得第四章二阶偏微分方程——方程的分类由线性代数，可通过线性变换将特征二次型化为对角型第四章二阶偏微分方程——方程的分类二阶方程分类：当b2－ac＜0时，曲线为椭圆，方程称为椭圆型方程当b2－ac=0时，曲线为抛物线,方程称为抛物型方程当b2－ac＞0时，曲线为双曲线，方程称为双曲型方程第四章二阶偏微分方程——方程的分类标准形式：椭圆型方程抛物型方程双曲型方程第四章二阶偏微分方程——方程的分

3、类物理意义：椭圆型方程——位势方程，描述与时间无关的定常分布；抛物型方程——热传导方程，描述不可逆的发展演变；双曲型方程——波动方程，描述可逆的双向波动。第四章二阶偏微分方程——方程的分类定解问题的提法——方程与初、边值的组合初值问题(Cauchy问题)边值问题混合问题第四章二阶偏微分方程——分离变量法§2分离变量法——试探问题的变量分离形式的解例1设第四章二阶偏微分方程——分离变量法变量分离，得求X(x)的非零解，通过调整参数的值第四章二阶偏微分方程——分离变量法ⅰ)当＜0时，方程的通解c1=c2=0，也即Ｘ(x)≡0

4、ⅱ)当=0时，方程的通解c1=c2=0，也即Ｘ(x)≡0第四章二阶偏微分方程——分离变量法ⅲ)当＞0时，方程通解具有如下形式由边界条件X(0)=0知c1=0,再由为了有非零解c2≠0，必须sin=0，由此确定出参数第四章二阶偏微分方程——分离变量法由此得变量分离解第四章二阶偏微分方程——分离变量法为满足初值，将解叠加由初值得解。第四章二阶偏微分方程——分离变量法例2矩形区域的Laplace方程例3圆形区域的Laplace方程令第四章二阶偏微分方程——分离变量法特征值问题解得＝n第四章二阶偏微分方程——分离变量法由边值

5、第四章二阶偏微分方程——分离变量法得得解。第四章二阶偏微分方程——分离变量法小结：分离变量法1、假设变量分离形式的解2、导出并求解特征值问题3、叠加成级数，满足初值或边值关键问题——特征值问题能否通过调整不定参数获得齐次方程的非零解。第四章二阶偏微分方程——分离变量法§3分离变量法——非齐次方程与边界条件：化齐与展开1、非齐边值的处理：迭加边值问题特解，化齐例1第四章二阶偏微分方程——分离变量法令特解v(x)要求满足边值，有无穷多种选择，规范为第四章二阶偏微分方程——分离变量法于是，问题化为w(x,t)的齐次边值问题方程化齐

6、的要点，是要求叠加的特解v(x)既要满足边值，又要满足原微分方程，使得化齐后的问题最简单。第四章二阶偏微分方程——分离变量法例2令第四章二阶偏微分方程——分离变量法解出问题化齐为例3环形区域上的热传导方程(p207)第四章二阶偏微分方程——分离变量法方程与边值同时化齐第四章二阶偏微分方程——分离变量法2、非齐方程的处理：级数展开难以直接分离变量，但可将所有函数按特征函数展开第四章二阶偏微分方程——分离变量法代入方程，得第四章二阶偏微分方程——分离变量法第四章二阶偏微分方程——分离变量法小结：分离变量法的关键特征函数级数展开问

7、题——特征函数的存在性？特征函数的正交性？特征函数的完整性？在一般条件下需要从理论上予以回答。第四章二阶偏微分方程——分离变量法分离变量法的历史发展1700’s——弦振动方程的三角函数试探解(Tayler)第四章二阶偏微分方程——分离变量法1800～1900’s——Fourier方法无穷级数解特征值问题Fourier级数理论Fourier变换1800’s——Strum－Liouville特征值理论分离变量法的理论基础特殊函数的应用第四章二阶偏微分方程——特征值理论§4特征值问题1、正交性的定义Fourier展开第四章二阶偏微

8、分方程——特征值理论2、特征值理论定理一存在着无穷多个实特征值定理二当q(x)≥0时,所有特征值非负定理三不同的所对应的特征函数带权ρ(x)正交定理四任意函数f(x)可展开为特征函数yn(x)的级数第四章二阶偏微分方程——特征值理论说明1、S-L特征值方程具有一般性；2、四个定理只回答了特