化工问题的建模与数学分析方法化工数学

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1、化工问题的建模与数学分析方法——ModellingandAnalyticalMethodsforProblemsinChemicalEngineering第六章近似解析方法1、奇异摄动法2、试验函数法3、正交配置法第六章近似解析方法——概论解析解与数值解的比较解析解——由简单函数关系式直接给出的对应关系结构简单，计算代价小结果可靠，直观，便于应用对一般问题难以得到数值解——以大量数字对应方式给出的函数关系适用性广，可处理复杂问题和大规模问题依赖于计算工具和特定算法，代价较大第六章近似解析方法——概论近似解析解——准确解的近似解析表达式局

2、部精确性较差，但整体规律性好形式简单而满足工程应用容易得到数学问题的求解原则首先求准确解析解其次求近似解析解最后采用数值解第六章近似解析方法——摄动法§1摄动法摄动法——将问题对小参数进行级数展开的求解方法正则摄动：小参数直接展开的方法奇异摄动：直接展开失效后采用的专门方法或改进方法第六章近似解析方法——摄动法1、正则摄动与奇异摄动例1最高次项含小参数的非线性代数方程的求解设得第六章近似解析方法——摄动法正则摄动只能得到一个根，因为直接展开失去了问题的非线性性质。第六章近似解析方法——摄动法如果作变换y=u/，得然后对u直接展开，得到

3、另一个根第六章近似解析方法——摄动法准确解为当→0时，其两个根分别趋于y→a和y→－1，对应的两个摄动解分别称为正则摄动解与奇异摄动解。第六章近似解析方法——摄动法例2小参数位于非导数项中的情况设得第六章近似解析方法——摄动法近似解与准确解极为接近，这种情况下正则摄动法是奏效的。第六章近似解析方法——摄动法例3方程最高阶导数乘小参数的情况当＝0时，方程由二阶退化成一阶方程，近似解只能满足一个边值而难以同时满足两个边值。第六章近似解析方法——摄动法直接展开得到取x=1处的边界条件y0(1)=，y1(1)=0，得到第六章近似解析方法

4、——摄动法在x=0处因此，近似解不满足x=0处的边值。第六章近似解析方法——摄动法分析：x=0处存在一个边界层边界层的存在是小参数乘最高阶导数问题的特征第六章近似解析方法——摄动法概念：渐近级数与收敛级数收敛级数：按变量展开的级数，如泰勒级数，三角级数，幂级数等，级数的精度随项数的增加而提高；渐近级数：按参数展开的级数系数yn(x)是由展开后的问题顺序解出的，因此级数不一定收敛，一般只取级数的2～3项。第六章近似解析方法——摄动法2、边界层方法基本思想：放大镜——将空间边界层放大，使分布变平缓，突出边界层内的作用；慢镜头——将时间尺度放

5、大，使变化减缓，突出快速变化的过程。历史来源与发展：Prandtl边界层方程，Blasuis匹配方法，PLK方法第六章近似解析方法——摄动法边界层方法的求解步骤1、外解——直接展开2、内解——边界层放大3、匹配——内解与外解的衔接4、合成——内解与外解的组合第六章近似解析方法——摄动法例31、外解第六章近似解析方法——摄动法2、内解边界层放大，定义内部坐标第六章近似解析方法——摄动法取＝1以保留二阶导数项，得令得第六章近似解析方法——摄动法解出0阶近似常数C由匹配条件确定第六章近似解析方法——摄动法3、匹配Prandtl匹配原理——0

6、阶近似的匹配方法得0阶内解第六章近似解析方法——摄动法4、合成加法合成法合成解＝外解＋内解－公共部分高阶近似的匹配——VanDyke匹配原理n项外解的m项内部展开＝m项内解的n项外部展开第六章近似解析方法——摄动法匹配后的两项近似内解合成后的两项近似解第六章近似解析方法——摄动法3、时间边界层——刚性问题（stiffequs)刚性问题：具有不同时间尺度的变化问题；特点：快步骤与慢步骤共存拟稳态近似与定常态近似计算难点：数值振荡，多步Gear方法奇异摄动：慢镜头分析，给出完整的结果第六章近似解析方法——摄动法例慢时间尺度解（＝0）——拟

7、稳态近似第六章近似解析方法——摄动法快时间尺度解——定常态近似第六章近似解析方法——摄动法合成与匹配——VonDyke匹配原理例：催化剂的平行失活问题反应快、失活慢，二者均需要考虑第六章近似解析方法——摄动法无量纲化1、先求内解，内解可完全确定第六章近似解析方法——摄动法令第六章近似解析方法——摄动法得到两项近似内解第六章近似解析方法——摄动法2、直接展开求外解，外解不满足初值，含任意常数3、内、外解匹配确定外解任意常数得到外解第六章近似解析方法——摄动法第六章近似解析方法——摄动法4、合成含有快、慢尺度的统一解第六章近似解析方法——摄

8、动法第六章近似解析方法——摄动法4、移动的空间边界层问题非线性色谱过程的浓度前沿非线性吸附效应与扩散效应之间的竞争作用移动的空间边界层的形成求解思路外解——非线性色谱问题的激波解内解——采用跟随激波的移动坐