全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题

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1、20xx年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试(80分钟)一、填空题(本题满分56分,每小题8分)1.已知数列的前项和,则________.2.若集合为空集,则实数的取值范围是________.3.设、为实数,,则二元函数的最小值是________4.设、分别是双曲线的左、右焦点,以为直径的圆交双曲线左支于、两点,且.双曲线的离心率的值介于整数与之间,则________.5.已知长方体的体积为,则四面体与四面体的重叠部分的体积等于________.6.设表示不大于的最大整数,则________.7.设方程的根都是正数,且,则的最大值是____

2、____.8.的方格棋盘的一条对角线穿过________个棋盘格.二、解答题(本题满分14分)求函数的值域.三、解答题(本题满分15分)如图,抛物线及点,过点的不重合的直线、与此抛物线分别交于点,,,.证明:,,,四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互补.xyOPACBD四、解答题(本题满分15分)设,是正数,且,,求证:.第二试(150分钟)一、(本题满分50分)如图,在△中,∥,△的内切圆与切于点,△的边上的旁切圆切于点,点是与的交点,求证、、三点共线.ABCDPENM二、(本题满分50分)设,为给定的整数,.对任意元的数集,作的所有元子集的

3、元素和,记这些和组成的集合为,集合中元素个数是,求的最大值.三、(本题满分50分)设,是互不相同的正整数,求证:.四、(本题满分50分)求满足下列条件的所有正整数,:(1)与互素;(2).2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准第一试一、填空题(本题满分56分,每小题8分)1.2.3.4.5.6.7.8.二、解答题(本题满分14分)解因为.………………8分令,则,.易知函数在区间与上都是减函数,所以的值域为,故的值域为.………………14分三、解答题(本题满分15分)解设、的倾斜角分别为、,由题设知、.易知直线的参数方程为,代入抛

4、物线方程可化得.设上述方程的两根为、,则.由参数的几何意义,得.…………………5分同理.…………………7分若、、、四点共圆,则,即.因为、,所以.又由、不重合,则.所以.…………………11分反过来,若,则因、,故,且,.所以,即.故、、、四点共圆.…………………15分四、解答题(本题满分15分)解因为,且(),所以,即.…………………10分同理可证.于是,.…………………15分2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加试一、(本题满分50分)ABCDPENM证设与交于点.因为∥,所以,.故只需证明,或.………………10分如图,设

5、、分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心,、、、为切点,则,,,.………………30分又ABCDPENMO1O2FGIH∽,故可设,则故结论成立.………………50分二、(本题满分50分)解的最大值为.…………………10分因共有个元子集,故显然有.…………………20分下面我们指出,对集合,相应的等于,即的任意两个不同的元子集的元素之和不相等.从而的最大值为.事实上,若上述的集合有两个不同的元子集,,使得与的元素之和相等,则(设).①因①可视为正整数的二进制表示,由于互不相同,互不相同,故由正整数的二进制表示的唯一性,我们由①推出,集合必须与相同,从而子

6、集,矛盾.这就证明了我们的断言.…………………50分三、(本题满分50分)证对s归纳.(1)当时,结论显然成立.…………………10分(2)假设时结论成立,当时,不妨设.由归纳假设可知,,则.所以只要证明:,此即.…………………30分因为正整数,所以.故,.所以,即时,命题成立.因此,由数学归纳法可知,命题对所有正整数成立.…………………50分四、(本题满分50分)解显然,满足要求.…………………10分对于,,方程可化为.显然.因为,故一定是的一个因子.设(为正整数),从而.由可知.…………………20分消去,得,即.由此推得.…………………40分

7、若,则,即,从而,故必有,矛盾.所以,从而,.验证知,.综上,,.…………………50分

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