2009-2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题.docx

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1、2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试（80分钟）一、填空题（本题满分56分，每小题8分）2*1.已知数列an的前n项和Snn3n4nN，则3l3335L321-2.若集合Ax

2、Jx3ax1,xR为空集，则实数a的取值范围是.3.设x、y为实数，2xy1,则二元函数ux24xy22y的最小值是224.设F1、F2分别是双曲线笃爲1的左、右焦点，以FE为直径的圆交双曲线左支ab于A、B两点，且AF1B120.双曲线的离心率的值介于整数k与k1之间，则k.5.已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积为216，则四面体AB1CD1与四面体ABCQ的重叠部

3、分的体积等于.6.设[x]表示不大于x的最大整数，则[log31][log32][log33]L[log3258].7.设方程x2n1a2nX2na?n1X2n1La/a。0的根都是正数，且a12n1,则ao的最大值是.8.20091911的方格棋盘的一条对角线穿过个棋盘格.二、解答题（本题满分14分）44求函数fxsinxtanxcosxcotx的值域.三、解答题（本题满分15分）2如图，抛物线y2x及点P1,1,过点P的不重合的直线h、I2与此抛物线分别交于点A,B,C,D•证明：A,B,C,D四点共圆的充要条件是直线ll与12的倾斜角互补.四、解答题（

4、本题满分15分）b是正数，且a1，b1，求证：a51b51a41b4164第二试（150分钟）、（本题满分50分）如图，在△ABC中，DEIIBC,△ADE的内切圆与DE切于点M,△ABC的BC边上的旁切圆切BC于点N，点P是BE与CD的交点，求证M、N、P三点共线.MDEPBCN、（本题满分50分）设k,n为给定的整数，nk2.对任意n元的数集P，作P的所有k元子集的元素和，记这些和组成的集合为Q，集合Q中元素个数是CQ，求CQ的最大值.三、（本题满分50分）2ns,口小2丄,ns是互不相同的正整数，求证:n12n22n2ns_l221

5、0分）求满足下列条件的所有正整数x,y:（1）x与y1互素；（2）x2x1y3.2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准第一试、填空题（本题满分56分，每小题8分）1191.2682.(,)U(丄，)3.4.25.366.9327.18.3871365一一二、解答题（本题满分14分)解因为fxsinsinx4cosCOSXcosxxsinx66sinxcosxsinxcosx3.22sin2x2sin2x令tsin2x，则t1,0U0,1，3t22t在区间1,0与0,1上都是减函数，所以gt的值域为（3t.211,HUH,22易知函数），故f

6、x的值域).14分11—]U[—,22解答题（本题满分15分）设11、12的倾斜角分别为，由题设知0,.易知直线11的参数方程为tcostsin代入抛物线方程可化得t2sin22sincost10.同理设上述方程的两根为t1、APBP1.2sinCPDP—1sint2，则1-.由参数t的几何意义，得sinC、D四点共圆，则APBPCPDP，即sin2sin2因为0,，所以sinsin又由ll、I2不重合，则所以11分0.反过来,，则因0,，故sinsin，且0,1所以一1sin1.2,sin即APBPCPDP.C、D四点共圆•15分四、解答题（本题满分15分

7、)43aa3a2a~~2a3a42a32a22a2a2a21同理可证曰a51a41疋，b51b41b51b4110分5(b1).25(a641)b15分2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准、（本题满分50分）证设BE与MN交于点P'.BP因为DE//BC，所以BCBP'BNPEDEP'EEM故只需证明BCBN亠BN，或-DEEMBCEMDEF、G、H、I为切点，贝UEM1AEDEAD,AHABBHABBN2AHAI1ABBCAC如图，设01、。2分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心,A10分250分10分Q•20分表示的唯一性，我们由①推出

8、，集合BNAHAB—ACBCAB.2又ADEsABC,故可设ABBCACk,ADDEAE则1BN2（ACbcAB）BCBC（kAEkDEkAD）2kDE（AEDEAD）EM2DEDE故结论成立.二、（本题满分50分）解Cq的最大值为C：.因P共有个k元子集，故显然有CQ下面我们指出，对集合P｛2,22,L,2n｝，相应的Cq等于C：，即P的任意两个不同的k元子集的元素之和不相等.从而CQ的最大值为C：.事实上，若上述的集合P有两个不同的k元子集A｛2ri,2r2,L,2「k｝,B｛2$,2S2,L,2尊,使得A与B的元素之和相等，则2r12r2L2rk2S1

9、2s2L2SkM（设）S互不相同，故由正整数的二进制