2010年全国高中数学联赛(江苏赛区复赛).doc

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1、2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．已知数列{an}、{bn}满足an＝2，bn＝log(a1a2a3…an)，n∈N*，则数列{bn}的通项公式是．答案：bn＝，n∈N*简解：由an＝2，得a1a2a3…an＝2＝2，n∈N*．所以bn＝×＝，n∈N*．2．已知两点M(0，2)、N(－3，6)到直线l的距离分别为1和4，则满足条件的直线l的条数是．答案：3简解：易得MN＝5，以点M为圆心，半径1为的圆与以点N为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l有3条．3．设函数f(x)＝

2、ax2＋x．已知f(3)＜f(4)，且当n≥8，n∈N*时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，则实数a的取值范围是．答案：(－，－)简解：(方法一)因为当n≥8时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，所以a＜0，此时f(n)＞f(n＋1)恒成立等价于f(8)＞f(9)，即64a＋8＞81a＋9，解得a＜－．因为f(3)＜f(4)，所以9a＋3＜16a＋4，解得a＞－．即a∈(－，－)．(方法二)考察二次函数f(x)＝ax2＋x的对称轴和开口方向．因为当n≥8时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，所以a＜0，且－＜，解得a＜－．因为f(3)＜

3、f(4)，所以－＞，解得a＞－．即a∈(－，－)．(第4题)CABDD1C1B1A1PQR4．已知ABCD－A1B1C1D1是边长为3的正方体，点P、Q、R分别是棱AB、AD、AA1上的点，AP＝AQ＝AR＝1，则四面体C1PQR的体积为．答案：简解：因为C1C⊥面ABCD，所以C1C⊥BD．又因为AC⊥BD，所以BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD．又PQ∥BD，所以AC1⊥PQ．同理AC1⊥QR．所以AC1⊥面PQR．因为AP＝AQ＝AR＝1，所以PQ＝QR＝RP＝．因为AC1＝3，且VA－PQR＝··12·1＝，所以VC－

4、PQR＝··()2·3－VA－PQR＝．5．数列满足，N*．记Tn＝a1a2…an，则T2010等于．答案：－6简解：易得：a1＝2，a2＝－3，a3＝－，a4＝，a1a2a3a4＝1．又a5＝2＝a1，由归纳法易知an＋4＝an，n∈N*．所以T2010＝T2008×a2009×a2010＝a1a2＝－6．6．骰子是一个立方体，个面上分别刻有、、、、、点.现有质地均匀的骰子10只.一次掷只、只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为的概率的比为．答案：1：6.提示：掷3只骰子，掷出6点的情况为1，1，4；1，2，3；2，2

5、，2.共3+3!+1=10种，概率为.掷4只骰子，掷出6点的情况为1，1，1，3；1，1，2，2.共4+=10种，概率为.所以概率的比为:=1:6.ABDC(第7题)7．在△ABC中，已知BC＝5，AC＝4，cos(A－B)＝，则cosC＝．答案：简解：因，故.如图，作AD，使∠BAD＝∠B，则∠DAC＝∠A－∠B．设AD＝BD＝x，则DC＝5－x．在△ADC中，由余弦定理得x＝3．再由余弦定理得cosC＝．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的焦点为F.设M是抛物线上的动点，则的最大值为．答案：简解：设点M(x，y

6、)，则()2＝＝＝1＋．令4x－1＝t，当t≤0时，显然≤1．当t＞0时，则()2＝1＋≤1＋＝，且当t＝3，即x＝1时，等号成立．所以的最大值为，此时点M的坐标为(1，±)．二、解答题（本题满分16分）xOBAyCDEFP如图，点P是半圆C：x2＋y2＝1(y≥0)上位于x轴上方的任意一点，A、B是直径的两个端点，以AB为一边作正方形ABCD，PC交AB于E，PD交AB于F，求证：BE，EF，FA成等比数列．证明：设P(cosα，sinα)，C(－1，－2)，D(1，－2)，E(x1，0)，F(x2，0)．因为点P、E、C三

7、点共线，所以＝，所以x1＝－1．………………5分由点P、F、D三点共线，所以＝，所以x2＝＋1．………………10分所以BE＝x1＋1＝，EF＝x2－x1＝，FA＝．所以BE·FA＝×＝＝EF2．即BE，EF，FA成等比数列．………………16分三、解答题（本题满分20分）设实数，满足，，函数，.若存在，，，使，求所有的实数的值．解答：因为时，，当且仅当时等号成立，……………5分所以，……………15分当且仅当及与时等号成立.故.……………20分四、解答题（本题满分20分）数列{an}中，已知a1∈(1，2)，an＋1＝an3－3a

8、n2＋3an，n∈N*，求证：(a1－a2)(a3－1)＋(a2－a3)(a4－1)＋…＋(an－an＋1)(an＋2－1)＜．证明：(方法一)由an＋1＝an3－3an2＋3an，得an＋1－1＝(an－1)3．令bn＝an－1，则0＜b1＜1，bn＋1＝bn3＜bn，0＜