2010年全国高中数学联赛(江苏赛区复赛)含答案

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1、2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．已知数列{an}、{bn}满足an＝2，bn＝log(a1a2a3…an)，n∈N*，则数列{bn}的通项公式是．2．已知两点M(0，2)、N(－3，6)到直线l的距离分别为1和4，则满足条件的直线l的条数是．．3．设函数f(x)＝ax2＋x．已知f(3)＜f(4)，且当n≥8，n∈N*时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，则实数a的取值范围是．(第4题)CABDD1C1B1A1PQR4．已知ABCD－A1B1C1D1是边长为3的正方体，点P、Q、R分别是棱AB、

2、AD、AA1上的点，AP＝AQ＝AR＝1，则四面体C1PQR的体积为．5．数列满足，N*．记Tn＝a1a2…an，则T2010等于．6．骰子是一个立方体，个面上分别刻有、、、、、点.现有质地均匀的骰子10只.一次掷只、只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为的概率的比为．ABDC(第7题)7．在△ABC中，已知BC＝5，AC＝4，cos(A－B)＝，则cosC＝．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的焦点为F.设M是抛物线上的动点，则的最大值为．二、解答题（本题满分16分）xOBAyCDEFP如图，点P是半圆C：x2＋y2＝1

3、(y≥0)上位于x轴上方的任意一点，A、B是直径的两个端点，以AB为一边作正方形ABCD，PC交AB于E，PD交AB于F，求证：BE，EF，FA成等比数列．三、解答题（本题满分20分）设实数，满足，，函数，.若存在，，，使，求所有的实数的值．四、解答题（本题满分20分）数列{an}中，已知a1∈(1，2)，an＋1＝an3－3an2＋3an，n∈N*，求证：(a1－a2)(a3－1)＋(a2－a3)(a4－1)＋…＋(an－an＋1)(an＋2－1)＜．2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加试一、（本题满分40分）圆心为

4、I的的内切圆分别切边AC、AB于点E、F.设M为线段EF上一点，证明：与面积相等的充分必要条件是.ABCEFMI(第1题)二、（本题满分40分）将凸n边形的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形.对k=1,2,…，n，记是由顶点引出的蓝色边的条数，求证：.三、（本题满分50分）设正整数的无穷数列（N）满足，（），求的通项公式．四、（本题满分50分）设p是一个素数，.设，是整数，满足.求证：存在整数，，使得.2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．已知数列{an}、{bn}满足an

5、＝2，bn＝log(a1a2a3…an)，n∈N*，则数列{bn}的通项公式是．答案：bn＝，n∈N*简解：由an＝2，得a1a2a3…an＝2＝2，n∈N*．所以bn＝×＝，n∈N*．2．已知两点M(0，2)、N(－3，6)到直线l的距离分别为1和4，则满足条件的直线l的条数是．答案：3简解：易得MN＝5，以点M为圆心，半径1为的圆与以点N为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l有3条．3．设函数f(x)＝ax2＋x．已知f(3)＜f(4)，且当n≥8，n∈N*时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，则实数a的取值范围是．答案：(－，－)简

6、解：(方法一)因为当n≥8时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，所以a＜0，此时f(n)＞f(n＋1)恒成立等价于f(8)＞f(9)，即64a＋8＞81a＋9，解得a＜－．因为f(3)＜f(4)，所以9a＋3＜16a＋4，解得a＞－．即a∈(－，－)．(方法二)考察二次函数f(x)＝ax2＋x的对称轴和开口方向．因为当n≥8时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，所以a＜0，且－＜，解得a＜－．因为f(3)＜f(4)，所以－＞，解得a＞－．即a∈(－，－)．(第4题)CABDD1C1B1A1PQR4．已知ABCD－A1B1C1D1是边长为3的正方体，

7、点P、Q、R分别是棱AB、AD、AA1上的点，AP＝AQ＝AR＝1，则四面体C1PQR的体积为．答案：简解：因为C1C⊥面ABCD，所以C1C⊥BD．又因为AC⊥BD，所以BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD．又PQ∥BD，所以AC1⊥PQ．同理AC1⊥QR．所以AC1⊥面PQR．因为AP＝AQ＝AR＝1，所以PQ＝QR＝RP＝．因为AC1＝3，且VA－PQR＝··12·1＝，所以VC－PQR＝··()2·3－VA－PQR＝．5．数列满足，N*．记Tn＝a1a2…an，则T2010等于．答案：－6简解：易得：a1＝2，a2＝－3，a3＝－，a

8、4＝，a1a2a3a4＝1．又a5＝2＝a1，由归纳法易知an＋4＝an，n∈N*．所以T2010＝T2008×a2009×a2010＝a1a2＝－6．6．骰子是一个立方体，个面