知识要点-圆的方程

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1、第3讲圆的方程★知识梳理★1.圆的标准方程与一般方程①圆的标准方程为，其中圆心为,半径为r；②圆的一般方程为，圆心坐标，半径为。方程表示圆的充要条件是2.以为直径端点的圆方程为3.若圆与轴相切，则;若圆与轴相切，则4.若圆关于轴对称，则；若圆关于轴对称，则；若圆关于轴对称，则；5、点与圆的位置关系：在圆内在圆上在圆外★重难点突破★重点:掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和圆的一般方程,难点:根据已知条件,求圆的方程重难点:围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数：(或)得到方程组,进而求出圆的方程1.充分利

2、用圆的几何性质解题圆上的动点到已知直线（或点）的距离的最大值和最小值，转化为圆心到已知直线（或点）的距离来处理问题1：已知圆和点，点P在圆上，求面积的最小值点拔:圆心(4,3)到直线的距离为,P到直线的距离的最小值为，求面积的最小值为2.运用转化的思想处理圆的对称问题问题2:圆关于直线对称，则点拨：圆关于直线对称的实质是圆心在直线上，因此可将圆心坐标代入直线方程解决解析：问题3:圆关于直线的对称圆的方程为点拨：两圆和关于直线对称，可以转化为点对称问题（即圆心和关于直线对称且半径相等），也可以用相关点法来处理，后一种方法更有推

3、广价值解析：方法1：原点关于直线的对称点为（1，1），所以圆关于直线的对称圆的方程为方法2：设是圆上一动点，它关于直线的对称点为，则在圆，圆关于直线的对称圆的方程为★热点考点题型探析★考点1圆的方程题型1:对圆的方程的认识[例1]设方程x2+y2－2(m+3)x+2(1－4m2)y+16m4+9=0。（1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。（2）当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。（3）求圆心的轨迹方程[解析]（1）由得：，化简得：，解得：。所以当时，该方程表示一个圆。（2）r==,当时，（3）设圆心，则，

4、消去得所求的轨迹方程为【名师指引】（1）已知圆的一般方程,要能熟练求出圆心坐标、半径及掌握方程表示圆的条件；（2）第3问求圆心的轨迹方程，使用了参数法，即把x,y都表示成m的函数，消去参数可得到方程，用此法要注意变量x,y的范围题型2:求圆的方程[例2]（1）求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程；（2）求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程。【解题思路】根据条件，列方程组求参数[解析]（1）设圆心,则有，所求圆的方程为（2）采用一般式，设圆的方程为，

5、将三个已知点的坐标代入得，解得：故所求圆的方程为【名师指引】(1)求圆的方程必须满足三个独立条件方可求解，选择方程的形式，合理列出方程组是关键，(2)当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程，当条件是圆经过三个点时，常选用一般方程【新题导练】1.若，方程表示的圆的个数为（）.A、0个B、1个C、2个D、3个解析:B得，满足条件的只有一个，方程表示的圆的个数为1.2.(广州六中2008-2009学年度高三期中考试)若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为（）A．-2或2B．C．2或0D．-2或0解析:C圆的圆心为（1，2），或23.

6、与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程为[解析]或4.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么点的轨迹方程为（）A.B.C.D.[解析]B设，则，化简得考点2圆的几何性质题型1：运用圆的几何性质解题[例3]一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.【解题思路】因题目条件与圆心、半径关系密切，选择圆的标准方程，与弦长有关的问题，一般要利用弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形”[解析]：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）

7、2+（y－b）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.【名师指引】在求圆的方程时，应当注意以下几点：（1）确定用圆的标准方程还是一般方程；（2）运用圆的几何性质（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数.[例4]已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.【解题思路

8、】问题中的几何性质十分突出，如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键，动圆圆心满足的条件是关注的焦点[解析]取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M（x，y），⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则

9、MA

10、=

11、MC

12、.∵A