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《等差数列前n项和的最值问题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、v1.0可编辑可修改等差数列前n项和的最值问题21问题引入：已知数列an,的前n项和Snn2_n,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是，它的首项与公差分别是什么解:2当n>1时:anSnSn1III2n1当n=1时:ais,1211-3222...一13综上：an2n一，其中：a1一，d2222探究1：一般地，如果一个数列｛an｝的前n项和为：snpnqnr,其中：为常数，且p0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是，它的首项和公差分别是什么结论：当r=0时为等差，当r0时不是一、应用二次函数图象求解最值例1：等差数列an中，a10,S4S9,则n的取值为多少时Sn最
2、大分析：等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。解析：由条件a10,S4S9可知，d<0,且Snna1nn—"ddn2(a1d)n,22249其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为n4-^-65,2而nN，且介于6与7的中点，从而n6或n7时Sn最大。1.已知等差数列｛an｝中a1=13且S3=S11，那么n取何值时，Sn取最大值.解析：设公差为d,由S3=S11得：3X13+3X2d/2=11X13+11X10d/2d=-2,an=13-2(n-1),an=15-2n,,an0-152no一一由即彳4：&n0,
3、所以n=7时，Sn取最大值.an10152(n1)02.已知an是各项不为零的等差数列，其中a1>0,公差d<0,若S°=0,求数列an前5项和取得最大值.结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数.an是各项不为零的等差数列，其中a1>0,公差d<0,S10=0,根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n±==5时，数列an前5项和取得最大值.二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列｛an｝中，a4=—14,公差d=3,求数列｛an｝的前n项和Sn
4、的最小值分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。23n(n1)3〃49、249,斛析：:a4=a1+3d,:-14=a1+9,a1=—23,:Sn=-23n+=—[(n)],22636.49一..49.•••当门=——最小时，Sn最小，但由于nN,——介于8与9之间,S8100,S99966即有且S8S9,故当n=8S8=—100最小.点评：通过条件求出a1,从而将Sn转化为关于n的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处49介于8与9之间，但并不能取6两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。23.已知等差数列an中，前n项和Sn
5、n15n,则使Sn有最小值的n是(b)1第6页共5页v1.0可编辑可修改a、7b、7或8c、8d、91.已知a是等差数列，其中&=31,公差d=8,则数列&前n项和的最大值为76.分析：(1)根据数列的首项和公差写出数列的前n项和，它是关于n的二次函数，二次项的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数的最值得到结果，注意变量n的取值.解答：解：(1);an是等差数列，其中ai=31,公差d=8,:数歹Uan前n项和Sn=4n2+35n,根据二次函数的性质，当n―时，前n项和Sn取到最大值，:nGN,:n=4,:前n项和Sn的最大值是Sn=64+140=76,2.已知一个等差
6、数列的前10项的和是110,前20项的和是20.求此等差数列的前n项和Sn,并求出当n为何值时，Sn最大，最大值是多少Sn=n221n当n=10或11时，取最大值为1103.已知｛an｝为等差数列，a1+a3+a5=105,az+a4+a6=99,以Sn表示｛an｝的前n项和，则使得S达到最大值的n是设｛an｝的公差为d,由题意得ai+a3+a5=a1+a1+2d+a+4d=105,即aI+2d=35,①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a+5d=99,即aI+3d=33,②由①②联立n(»—1)得a1=39,d=-2,Sn=39n+-JX(-2)=-n2+40n=-
7、(n-20)2+400,故当n=20时，Sn达到最大值400.4.已知等差数列an的公差d<0,若a3a7=9,a1+a9=10,则该数列的前n项和S的最大值为49.分析：根据等差数列的性质得到第3项与第7项的和等于首项与第9项的和等于10,又第3项与第7项的积为9,写出一个两根为a3和日关于x的一元二次方程，求出方程的解，且根据等差d小于0可得到a3和a7的值，进而求出数列的首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的前n项和公式，配方后即可求出数列的前n项和Sn的最大值.解答：解：由题意a1+a9=10,得到a3+
