等差数列前n项和最值问题的快速解法

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1、★等差数列前n项和最值问题的快速解法等差数列前n项和公式是，记住抛物线对称轴方程.最值一定在离对称轴最近的整数中取到.图像是过原点的抛物线上的一些离散点，由于二次函数图像的对称性，一旦给出关系式，则马上知道抛物线的对称轴方程为，即两足标和的一半！关于的最值问题可以转化成二次函数求解。其实，它还有一个零点式方程，★设抛物线顶点的横坐标为，则抛物线的两个零点为0和，则可设■（图像中x轴对应n轴，y轴对应轴，等差最值问题要立刻想到这2个图像！）例1等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。速解：抛物线对称轴方程为，则可设

2、，由时，例2在等差数列中,已知,前项和为,且,求当取何值时,有最大值,并求它的最大值。解：抛物线对称轴方程为，则可设4由，则所以n=12或13时，例3等差数列中，，，该数列前多少项的和最小？解∵，∴的图像所在的抛物线的对称轴为，又,，∴的前10项或前11项的和最小。变式：等差数列中，，，该数列前多少项的和最大？解：抛物线的对称轴为，又，所以n=6or7例4设等差数列的前n项和为，已知（1）求公差d的取值范围（2）指出中哪一个值最大,并说明理由.解：（1）的取值范围是（2）由（1）知d<0,抛物线开口向下，设抛物线顶点的横坐标为

3、，则抛物线的两个零点为0和，因，则2，故的值最大.4例5设等差数列的前n项和为，且，则k=8解：抛物线对称轴例6①设等差数列的前n项和为，且，求的值解：抛物线对称轴方程为，则抛物线两个零点为0和，所以=0②已知等差数列的前项和满足，则上面的结论，答案是0，对吧？③已知等差数列的通项为，则使得最大的的值是？解：（d就是一次项n的系数！why?），抛物线开口向下，有最大值，由抛物线对称轴方程，故答案为8.例7设等差数列满足，且，则前n项和中最大的是（）AB.CD解：，抛物线开口向下，由对称轴，最大，选择C例8（2010福建理科3）

4、设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于（）A.6B.7C.8D.94速解：，d>0,抛物线开口向上，故有最小值。由抛物线对称轴方程，故选A例9（2009安徽理科）已知为等差数列，，。以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是（A）21（B）20（C）19（D）18解：①②由②-①得，代入①得故对称轴，故选B4