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《等差数列前n项和最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、等差数列前n项和的最值问题问题引入：已知数列的前n项和,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:当n=1时:综上:,其中:,探究1:一般地,如果一个数列的前n项和为:其中:p.q.r为常数,且p0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r0时不是一、应用二次函数图象求解最值例1：等差数列中，，则n的取值为多少时？最大分析：等差数列的前n项和是关于n的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。解析：由条件可知，d<0，且，其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处
2、取得最大值，且对称轴为，而，且6.5介于6与7的中点，从而或时最大。1.已知等差数列{}中=13且=,那么n取何值时,取最大值.解析：设公差为d，由=得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2d=-2,=13-2(n-1),=15-2n,由即得：6.5≤n≤7.5,所以n=7时,取最大值.2.已知an是各项不为零的等差数列，其中a1＞0，公差d＜0，若S10=0，求数列an前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近
3、的整数．an是各项不为零的等差数列，其中a1＞0，公差d＜0，S10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列an前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{}中,＝－14,公差d＝3,求数列{}的前n项和的最小值分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。解析：∵＝＋3d,∴－14＝＋9,＝－23,∴＝－23n＋＝[(n－)－],∴当n=最小时，最小，但由于，介于8与9之间，，即有且，故当n＝8＝－100最小.点评：通过条件求出，从而将转化为关于n的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处介于8与9之间，但
4、并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。3.已知等差数列中，前项和，则使有最小值的是（B）4/4A、B、C、D、1.已知an是等差数列，其中a1=31，公差d=﹣8，则数列an前n项和的最大值为 76 ．分析：（1）根据数列的首项和公差写出数列的前n项和，它是关于n的二次函数，二次项的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数的最值得到结果，注意变量n的取值．解答：解：（1）∵an是等差数列，其中a1=31，公差d=﹣8，∴数列an前n项和sn=﹣4n2+35n，根据二次函数的性质，当n=时，前n项和sn取到最大值，∵n∈N，∴n
5、=4，∴前n项和sn的最大值是sn=﹣64+140=76，2.已知一个等差数列的前项的和是，前项的和是.求此等差数列的前项和，并求出当为何值时，最大，最大值是多少？=当N=10或11时，取最大值为1103.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是设{an}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=-2，∴sn=39
6、n+×（-2）=-n2+40n=-（n-20）2+400，故当n=20时，Sn达到最大值400．4.已知等差数列an的公差d＜0，若a3a7=9，a1+a9=10，则该数列的前n项和Sn的最大值为 49 ．分析：根据等差数列的性质得到第3项与第7项的和等于首项与第9项的和等于10，又第3项与第7项的积为9，写出一个两根为a3和a7关于x的一元二次方程，求出方程的解，且根据等差d小于0可得到a3和a7的值，进而求出数列的首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的前n项和公式，配方后即可求出数列的前n项和Sn的最大值．解答：解：由题意a1+a9=10，得到a3+a7=1
7、0，又a3a7=9，得到a3，a7为方程x2﹣10x+9=0的两根，且d＜0，得到a3=9，a7=1，则d=﹣2，所以a1=13，Sn=﹣n2+14n﹣49+49=（n﹣7）2+49，则当n=7时，该数列的前n项和Sn的最大值为49．故答案为：495.在等差数列an中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值．解：由S17=S9，得到=，即17（2a1+16d）=9（2a1+8d），又a1=25，得：d=﹣=﹣2，所以an=a1+（n﹣1）d=﹣2n+27，则Sn===﹣n2+26n=﹣（n﹣13）2+169，所以当n=13时，Snmax=169．三、在等差数列中
8、,有关的最
