第五章 微扰理论c

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1、第五章微扰理论§5.1学习指导应用量子力学理论解决实际问题，通常需要求解薛定谔方程。除了前几章中介绍过的几个高度理想化的简单模型外，绝大多数实际量子体系的薛定谔方程都不能精确求解。因此在量子力学基本理论的基础上，寻找有效的近似方法，求出实际量子体系的近似解是量子力学的重要内容之一。量子力学中常用的近似方法有微扰近似、准经典近似和变分法等，这些方法在实际问题中有广泛的应用。微扰近似方法是在已知精确解的量子力学模型的基础上进行的，该方法把系统的哈密顿算符分为两个部分：无微扰哈密顿算符和微扰项，其中无微扰哈密顿算符可以精确求解，微扰项相对很小。这样就可以在无微扰时精确解的基础上

2、，通过逐级近似的方法来求出加上微扰项后引起的修正，从而得到系统的近似解。准经典近似方法是利用大量子数条件下量子力学与经典力学的对应原理为基础，求出量子理论对经典结果的修正。变分法是利用能量本征方程中，基态能量的极小值特性，从一类试探函数中选择出使得能量最小的状态，作为基态波函数的近似。虽然变分法的应用范围比较窄，但可以处理一些无法用微扰近似方法解决的问题。本章的主要知识点有1．定态微扰论1）基本方法体系的哈密顿，其中,均不含时间，l为表示数量级的小量，的本征方程可以精确求解。将的本征值与本征函数用小量l展开为和，代入本征方程后得到(5-1)比较两边同阶量，立即得到本征方程

3、的各级近似，进而可以求出本征值与本征函数的各级修正。2）非简并定态微扰论当无扰动能量本征值无简并时，由(5-1)式可以得到能级的一级修正为(5-2)20能级的二级修正为(5-3)波函数的一级修正为(5-4)其中为微扰项的矩阵元。微扰论的适用条件为，等效于。(5-5)3）简并情况下定态微扰理论当无扰动能级存在简并时，对简并态之间的微扰矩阵元，条件(5-5)中的分母为零。如果在简并态组成的子空间内，微扰矩阵元的非对角元都为零，即，这时可以继续应用非简并微扰理论的结果。如果微扰矩阵元的非对角元不全为零，这时非简并微扰的结果失效。我们需要把简并态重新组合为(5-6)对组合后的简并

4、态集合，非对角的微扰矩阵元等于零。即(5-7)上述方程等价于,(5-8)在无微扰能量表象中为，其非零解条件为,(5-9)所解出的本征值l就是能量的一级修正，而对应的本征态(5-6)称为正确的零级近似波函数。2.含时微扰理论在微扰项显含时间的情况下，定态微扰方法完全失效。设体系的初始状态为的第k个本征函数，现在的主要问题成为求加上微扰项后状态的演化规律，而不是求能级的修正。为了简明起见，下面把的能级直接记为。1）基本方法显然，状态的演化遵循薛定谔方程20(5-10)将状态用无微扰定态波函数展开，即，代入薛定谔方程中，得到(5-11)其中。2）跃迁概率在一级近似下，由态到态的

5、跃迁概率幅为(5-12)跃迁概率为(5-13)3）典型例子：周期性微扰典型的周期性微扰项具有下面的形式(5-14)由态到态的跃迁概率为(5-15)相应的跃迁速率为(5-16)由(5-15)式容易看出；令，就得到常微扰情况下的结果。4）时间能量的不确定关系当测量能量的时间为时，所测得的能量具有一个不确定范围，两者满足关系(5-17)3、光的发射与吸收1）过程的描述从理论上分析，物质发射或者吸收光波的过程是组成该物质的原子与电磁场相互作用的过程。物质吸收光波的实质是原子吸收光子并从较低能级跃迁到较高能级，跃迁速率与光场强度之比称为吸收系数，记为。物质发射光波则相反20，原子从

6、较高能级跃迁到较低能级，并放出光子。在光场影响下的跃迁称为受激发射，跃迁速率与光场强度之比称为受激发射系数，记为；无外界影响时的跃迁称为自发发射，跃迁速率称为自发发射系数，记为。2）半经典理论严格地说，原子与电磁场都应该量子化，但是在量子力学的水平上，认为原子的能量是量子化的，而电磁场是经典的，由此得到的结果称为半经典理论。在通常情况下，光波波长远远大于原子的尺度，这时原子与光波的相互作用可以采用电偶极近似来计算，即忽略磁偶极项和电四极项等小量。设电磁场为单色波，电场沿x轴，大小为，电偶极能量为，跃迁速率(5-16)成为(5-18)其中为光场的强度。在连续光情况下，跃迁速

7、率成为(5-19)对各向同性的自然光，跃迁速率公式中的矩阵元应修正为。3）辐射强度与激发态寿命由(5-16)式，我们推出受激发射系数为(5-20)利用热平衡条件，爱因斯坦得到了三个系数之间的关系(5-21)由此可以求出吸收系数和自发发射系数。设处于高能级的原子数为，在单位时间内有个原子自发向低能级跃迁，发射光子的能量为，因此辐射强度为(5-22)而高能级原子数的变化规律为，其中20为向所有低能级自发辐射系数之和。由此可以得到(5-23)因而激发态的平均寿命大约为。3）选择定则原子的偶极跃迁主要取决于位置矩阵元，跃迁可以实现的条