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1、第五章微扰理论引言§1非简并定态微扰理论§2简并微扰理论§3变分法（一）近似方法的重要性前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；（3）势垒贯穿问题；（4）氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger方程能有精确解的情况很少。通常体系的Hamilton量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。引言（二）近似方法的出发点近似方法通常是从简单问题的精确解（解
2、析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。（三）近似解问题分为两类（1）体系Hamilton量不是时间的显函数——定态问题1.定态微扰论；2.变分法。（2）体系Hamilton量显含时间——状态之间的跃迁问题1.与时间t有关的微扰理论；2.常微扰。§1非简并定态微扰理论（一）微扰体系方程（二）态矢和能量的一级修正（三）能量的二阶修正（四）微扰理论适用条件（五）讨论（六）实例微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它
3、行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系Hamilton量不显含时间，而且可分为两部分：（一）微扰体系方程H(0)所描写的体系是可以精确求解的，其本征值En(0)，本征矢
4、ψn(0)>满足如下本征方程：另一部分H’是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于H(0)上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰后Hamilton量H的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的Schrodi
5、nger方程：当H’=0时，
6、ψn>=
7、ψn(0)>,En=En(0)；当H’≠0时，引入微扰，使体系能级发生移动，由En(0)→En，状态由
8、ψn(0)>→
9、ψn>。为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。因为En、
10、ψn>都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：其中En(0),λEn(1),λ2En(1),...分别是能量的0级近似，能量的一级修正和二级修正等；而
11、ψn(0)>,λ
12、ψn(1)>,λ2
13、ψn(2)>,...分别是状态矢量0级近似，一级修正和二级修正等。代入Schrodinger
14、方程得：乘开得：根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式:整理后得：上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分别是
15、ψn(1)>和
16、ψn(2)>所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。现在我们借助于未微扰体系的态矢
17、ψn(0)>和本征能量En(0)来导出扰动后的态矢
18、ψn>和能量En的表达式。(1)能量一级修正λEn(1)根据力学量本征矢的完备性假定，H(0)的本征矢
19、ψn(0)>是完备的，任何态矢量都可按其展开，
20、ψn(1)>也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为：akn(1)=<ψk(0)
21、ψn(1)>代回前面的
22、第二式并计及第一式得：左乘<ψm(0)
23、（二）态矢和能量的一级修正考虑到本征基矢的正交归一性：考虑两种情况1.m=n2.m≠n准确到一级微扰的体系能量：其中能量的一级修正等于微扰Hamilton量在0级态矢中的平均值（2）态矢的一级修正
24、ψn(1)>为了求出体系态矢的一级修正，我们先利用扰动态矢
25、ψn>的归一化条件证明上式展开系数中ann(1)=0（可以取为0）。基于
26、ψn>的归一化条件并考虑上面的展开式，证：由于归一，所以ann(1)的实部为0。ann(1)是一个纯虚数，故可令ann(1)=i（为实）。上式结果表明，展开式中，ann(1)
27、ψn(0)>
28、项的存在只不过是使整个态矢量
29、ψn>增加了一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取=0，即ann(1)=0。这样一来，与求态矢的一级修正一样，将
30、ψn(2)>按
31、ψn(0)>展开：与
32、ψn(1)>展开式一起代入关于2的第三式（三）能量的二级修正左乘态矢<ψm(0)
33、1.当m=n时在推导中使用了微扰矩阵的厄密性正交归一性2.当m≠n时能量的二级修正在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已
34、知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件
