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1、第五章微扰理论§5.1学习指导应用量子力学理论解决实际W题，通常耑要求解薛定谔方程。除了前儿章中介绍过的儿个高度理想化的简单模型外，绝大多数实际量子体系的薛定谔方程都不能精确求解。因此在量子力学基本理论的基础上，寻找有效的近似方法，求出实际量子体系的近似解是量子力学的重要内容之一。量子力学中常用的近似方法有微扰近似、准经典近似和变分法等，这些方法在实际问题中有广泛的应用。微扰近似方法是在己知精确解的量子力学模型的基础上进行的，该方法把系统的哈密顿算符分为两个部分：无微扰哈密顿算符冷Q和微扰项其屮无微扰哈密顿算符可
2、以精确求解，微扰项相对很小。这样就可以在无微扰时精确解的基础上，通过逐级近似的方法来求出加上微扰项后引起的修正，从而得到系统的近似解。准经典近似方法是利用大fi子数条件下S子力学与经典力学的对应原理为基础，求出S子理论对经典结果的修正。变分法是利用能量本征方程中，基态能量的极小值特性，从一类试探函数屮选择出使得能量最小的状态，作为基态波函数的近似。虽然变分法的应用范围比较窄，但可以处理一些无法用微扰近似方法解决的问题。本章的主要知识点有1.定态微扰论1)基本方法体系的哈密顿H二/^+乂/^，其中，冷z均不含吋间Z
3、,人为表示数量级的小量，冷。的本征方程，可以精确求解。将泠的本征值与本征函数用小量X展开为En=+城1)+乂2g2)+L和w<0)4-/1^°+L,代入本征方程Hy/n=后得到(丸+W)(<)+A<)+L)=(£，+A£y)+A2£f)+L)(<)+卽;/)+L)(5-1)比较两边同阶量，立即得到本征方程的各级近似，进而可以求fli本征伉£„与本征函数％;的各级修正。2)非简并定态微扰论当无扰动能量本征值无简并时，由(5-1)式可以得到(5-2)能级的一级修正为E?、=H:(5-4)能级的二级修正为丄二(⑴”体"
4、匕n匕m波函数的一级修正为＜)=[r(cMx)其中付二=]＞，片＞，打为微扰项的矩阵元。微扰论的适用条件为J*
5、
6、2dr«1,等效于",:,,7Ce-C)
7、«l，，n*n。(5-5)1)简并情况下定态微扰理论当无扰动能级£=存在简并时，对简并态(/^,6Z=1，2,L，/之间的微扰矩阵元，条件(5-5)中的分母为零。如果在简并态组成的子空间内，微扰矩阵元的非对角元都为零，即心二Up，这时可以继续应用非简并微忧理论的结果。如果微扰矩阵元的非对角元不全为零，这时非简并微扰的结果失效。我们需要把简并态重新组合为-Xap
8、c^na"，仅=1，2，L，/(5-6)a对组合后的简并态集合，非对角的微扰矩阵元等于零。即ff'ama=i,2，l，，(5-7)上述方程等价于H、aapa=入a邱，(5-8)其非零解条件为det
9、H^-^a
10、=0^(5_9)所解出的本征值X就是能量的一•级修正£$,而对应的本征态(5-6)称为正确的零级近似波函数。1.含时微扰理论在微扰项显含时间的情况下，定态微扰方法完全失效。设体系的初始状态为的第k个本征函数现在的主要问题成为求加上微扰项后状态的演化规律，而不是求能级的修正。为了简明起见，卜面把斤()的能级直
11、接记为£,,。1)基本方法显然，状态的演化遵循薛定谔方程(5-10)Z方啬州=紙峭)=[H^Hv)神)扒0)=K将状态用无微扰定态波函数展开，即V⑴=⑴W~/h,代入薛定谔方程中，得到(5_H)其中义,,=(A-A)/h。1)跃迁概率在一级近似下，由态到y/m(rn^k)态的跃迁概率幅为跃迁概率为3)典型例子：周期性微扰典型的周期性微扰项具有下面的形式Ht)=F(ei(a^e'i(a)(5-12)(5-13)(5-14)由态到I人m*k)态的跃迁概率为WU,3(E,n-Ek±hco)(5-15)dt相应的跃迁速
12、率为1>12叹W)(5-16)由(5-15)成容易看出％,二令仍=0,就得到常微扰情况下的结果。1)吋间能量的不确定关系当测B:能量的时间为Af时，所测得的能量具有一个不确定范围△£,两者满足关系A£AZ：h(5-17)3、光的发射与吸收1)过程的描述从理论上分析，物质发射或者吸收光波的过程是组成该物质的原子与电磁场相互作用的过程。物质吸收光波的实质是原子吸收光子并从较低能级&跃迁到较高能级£,，,，跃迁速率与光场强度/(幼之比称为吸收系数，记为物质发射光波则相反，原子从较髙能级跃迁到较低能级，并放出光子。在光场
13、影响下的跃迁称为受激发射，跃迁速率与光场强度之比称为受激发射系数，记为无外界影响时的跃迁称力自发发射，跃迁速率称为m发发射系数，记为2)半经典理论严格地说，原子与电磁场都应该量子化，但是在量子力学的水平上，认为原子的能量是fi子化的，而电磁场是经典的，由此得到的结果称为半经典理论。在通常情况下，光波波长远远大于原子的尺度，这时原子与光波的相互作用可以采用电偶极近似来计算，
