第五章 微扰理论.doc

《第五章 微扰理论.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第五章微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB（半经典近似），Hatree-Fock自恰场近似等。本章将介绍微扰论和变分法。本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。§5.1非简并定态微扰论§5.2简并定态微扰论§5.3氢原子的一级Stark效应§5.4变分法§5.5氦原子基态§5.6含时微扰§5.7跃迁几率和黄金费米规则§5.8光的发射与吸收§5.9选择定则附录：氦原子基态计算

2、过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程HˆE满足下列条件：Hˆ可分解为Hˆ和Hˆ两部分，而且Hˆ00远大于Hˆ。HˆHˆHˆHˆHˆHˆ的本征值和本征函数已经求出，即Hˆ0000的本征方程Hˆ(0)E(0)(0)中，能级E(0)和波函数(0)都是已知的。微扰0nnnnn论的任务就是从Hˆ的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰Hˆ后，Hˆ的本征值0和本征函数。3.Hˆ的能级无简并。严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个0能级无简

3、并的。例如我们要通过微扰计算Hˆ对Hˆ的第n个能级E(0)的修正，就要求E(0)0nn(0)无简并，它相应的波函数只有一个。其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。4.n(0)H的能级组成分离谱。严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级E处于0n(0)分离谱内，是束缚态。n在满足上述条件下，定态非简并微扰论的目的是从已知的Hˆ的本征值和本征函数出发求0H的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进一个小参数，将Hˆ写成0Hˆ，将Hˆ的微小程度通过的微小程度反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是Hˆ(HˆHˆ)E将能级

4、E和波函数按展开：n0nnnnn(0)(1)2(2)EEEEnnnn(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)E,E,E,,,,(0)(1)2(2)nnnnnnnnnn分别表示能级E和波函数的零级、一级、二级、……修正。将上面展开式代入定态nn薛定谔方程，则有：(HˆHˆ)((0)(1)2(2))0nnn比较上式两端(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)(EEE)()nnnnnn的同次幂，可得：0:Hˆ(0)E(0)(0)0nnn1:(Hˆ

5、E(0))(1)(HˆE(1))(0)0nnnn零级近似显然就是无微扰时的定态薛2:(HˆE(0))(2)(HˆE(1))(1)E(2)(0)0nnnnnn34定谔方程。同样，还可以列出准确到,,等各级的近似方程。一级修正将一级修正(1)(0)波函数按系展开将上式代入一级修正式中nl(1)(1)(0)(0)*nall以k左乘上式并对全空间积分后，利用本正函数系的正交归一性，l有E(0)a(1)E(0)a(1)(0)*Hˆ(0)dxE(1)记kknkknnn,kH(0)*Hˆ(0

6、)dx(0)Hˆ(0)knknkn可得：E(0)a(1)E(0)a(1)HE(1)当nk时，得E(1)Hˆkknkknnn,knnn(1)Hkn当nk时，得a注意，（5.1.13）式只有在nk时成立。对此，利k(0)(0)EEnk用的归一化，在准确到()数量级后，有n(0)(1)(0)(1)1

7、()

8、()nnnnnn(0)又因为归一，即(0)

9、(0)[(0)

10、(1)(1)

11、(0)](2)nnnnnnn(0)(0)(0)(1)(1)(0)

12、1，

13、则

14、

15、0nnnnnn(1)(1)*(1)(1)即aa0二式表明a必为纯虚数，即air,r为实数准确到的一级nnnn近似，微扰后体系的波函数是(0)(1)nnn(0)(0)(1)(0)(1)ninall上式表明，an的贡献无非是使波函数增加lnir(0)(1)(0)enallln(1)了一个无关重要的相位因子，不失普遍性，可取air0因此，准确到一级，体系的能n级和波函数是(0)(0)EEHEn

16、H

17、nnnnnn(0)Hkn(0)nn(0)(0)k上两式表