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1、B1B20”(其证明可借助向量知识完成)解题.典型例题一例1已知A(0,3),B(1,0),C(3,0),求D点的坐标,使四边形ABCD为等腰梯形.分析:利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题.解:如图,设D(x,y),若AB//CD,则kABkCD,ADBC30y0即01x3,22x2(y3)23116.163由①、②解得D(1f,
2、).若AD//BC,则kADkBC,ADBC,0,(x3)2y21232.④由③、④式解得D(2,3)•163故D点的坐标为(一,—)或(2,3)•II说明:(1)把哪两条边作为梯形的底是讨论的标准,解此题时注意不要漏解.(2)在遇
3、到两直线平行问题时,一定要注意直线斜率不存在的情况.此题中AB、BC的斜率都存在,故不可能出现斜率不存在的情况.典型例题例2当a为何值时,直线h:(a2)x(1a)y10与直线l2:(a1)x(2a3)y20互相垂直?分析:分类讨论,利用两直线垂直的充要条件进行求解•或利用结论“设直线
4、1和
5、2的方程分别是h:AxByC10,J:A2XB?yC20,贝UhI2的充要条件是B1B20”(其证明可借助向量知识完成)解题.解法一:由题意,直线na.(1)若1a0,即a1,此时直线h:3x10,J:5y20显然垂直;3⑵若2a30,即a—时,直线h:x5y20与直线S:5x40不垂直;2⑶若1
6、a0,且2a30,则直线h、I2斜率&、k?存在,a12a3a2a11,当l1I2时,k1k21,即()()1a2a3a1.解法二:由于直线
7、1综上可知,当a1或a1时,直线l1l2.I2,所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0,解得a故当a1或a1时,直线
8、1
9、2.说明:对于本题,容易出现忽视斜率存在性而引发的解题错误,如先认可两直线
10、1、
11、2的斜率分别为k1、k2,贝yk1a2,a11a,22a3B1B20”(其证明可借助向量知识完成)解题.B1B20”(其证明可借助向量知识完成)解题.1.1,即(解上述方程为a1.从而得到当a1时,直线
12、1与
13、2互相垂直.上述解题的失误在于机械
14、地套用两直线垂直(斜率形式)的充要条件,忽视了斜率存在的大前提,因而失去对另一种斜率不存在时两直线垂直的考虑,出现了以偏概全的错误.典型例题三例3已知直线I经过点P(3,1),且被两平行直线h:xy10和l2:xy60截得的线段之长为5,求直线l的方程.分析:⑴如图,利用点斜式方程,分别与l1、J联立,求得两交点A、B的坐标(用k表示),再利用AB5可求出k的值,从而求得l的方程.⑵利用l1、I2之间的距离及I与l1夹角的关系求解.⑶设直线I与I1、2分别相交于A(X1,y』、B(X2,y2),则可通过求出y目2、X1X2的值,确定直线I的斜率(或倾斜角),从而求得直线I的方程.F才
15、解法一:若直线I的斜率不存在,则直线I的方程为x3,此时与11、
16、2的交点分别为A(3,4)和B(3,9),截得的线段AB的长AB5,符合题意,若直线I的斜率存在,则设直线I的方程为yk(x3)解方程组yXk(Xy13)0,11,得A3k2k14k解方程组yXk(Xy63)0,11,得B3k79k1k1由AB5,得3kT123k7k14k1k19kT152.解之,得k0,综上可知,所求即欲求的直线方程为I的方程为X3或yy1-1.解法二:由题意,直线I1、I2之间的距离为d5.21,且直线I被平等直线li、I2所截得的线段AB的长为5(如上图),设直线I与直线Ii的夹角为故•••45
17、.由直线h:xy10的倾斜角为135°,知直线I的倾斜角为0°或90°,又由直线I过点P(3,1),故直线I的方程为x3或y1.解法三:设直线I与I1、I2分别相交A^y)、,则:X1y110,X2y2两式相减,得(X1X2)(y1y2)52又(X1X2)(%y2)225x1x25x1x20联立①、②,可得12或12y1y20y1y25由上可知,直线l的倾斜角分别为0°或90°.故所求直线方程为x3或y1.说明:本题容易产生的误解是默认直线l的斜率存在,这样由解法一就只能得到k0,从而遗漏了斜率不存在的情形.一般地,求过一定点,且被两已知平行直线截得的线段为定长a的直线,当a小于两平行
18、直线之间距离d时无解;当ad时有唯一解;当ad时,有且只有两解.另外,本题的三种解法中,解法二采取先求出夹角后,再求直线l的斜率或倾斜角,从方法上看较为简单;而解法三注意了利用整体思想处理问题,在一定程度上也简化了运算过程.典型例题四例4已知点A1,3,B3,1,点C在坐标轴上,且ACB90,则满足条件的点C的个数是().(A)1(B)2(C)3(D)4解:点C在坐标轴上,可有两种情况,即在x轴或y轴上,点C的坐标可设为x,0或y,0.由题意,