正文描述:《2020_2021学年新教材高中数学第五章数列5.2.1.2等差数列的性质学案含解析新人教B版选择性必修第三册20210326289.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、考试第2课时等差数列的性质必备知识·素养奠基1.等差中项:如果x,A,y是等差数列,那么称A是x与y的等差中项,且A=.2.等差数列中项与序号的关系(1)两项关系an=am+(n-m)d(m,n∈N+).(2)多项关系若s+t=p+q(p,q,s,t∈N+),则as+at=ap+aq.特别地,若2s=p+q,则2as=ap+aq.如何证明若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq?提示:因为am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d.所以am+an=2a1+(m+n-2)d.同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因为m+n=p+q,所以am+a
2、n=ap+aq.3.等差数列的项的对称性文字叙述在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和符号表示n为偶数n≥2a1+an=a2+an-1=…=+n为奇数n≥3a1+an=a2+an-1=…=24.由等差数列构成的新等差数列(1)条件-15-/15考试{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列.(2)结论数列结论{c+an}公差为d1的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd1的等差数列(c为任一常数){an+an+k}公差为2d1的等差数列(k为常数,k∈N+){pan+qbn}公差为pd1+qd2的等差数列(p,q为常数)5.等差数列的单调
3、性等差数列{an}的公差为d,(1)当d>0时,数列{an}为递增数列.(2)当d<0时,数列{an}为递减数列.(3)当d=0时,数列{an}为常数列.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若{an}是等差数列,则{
4、an
5、}也是等差数列.( )(2)若数列{an}是等差数列,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列.( )(3)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q也能成立(m,n,p,q∈N+).( )(4)在等差数列{an}中,若m+n=r,m,n,r∈N+,则am+an=ar.( )提示:(1)×.如-2,-1,0,1,2是等
6、差数列,但其绝对值就不是等差数列.(2)√.若等差数列{an}公差为d,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列,且其公差为2d.(3)×.若数列{an}是常数列,则m+n=p+q不一定成立.-15-/15考试(4)×.如等差数列1,3,5,7,9中,a1+a2≠a3.2.在等差数列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,则a7=( )A.5B.6C.7D.8【解析】选C.由题意,根据等差中项的性质,有a1+a7=a3+a5.所以a7=a3+a5-a1=8-1=7.3.若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=________. 【解析】设公差为d,则9=2+4d,所以d=.
7、所以c-a=2d=.答案:关键能力·素养形成类型一等差中项的应用【典例】1.已知a=,b=,则a,b的等差中项为( )A.B.C.D.2.{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d=( )A.2B.C.1D.3.已知,,成等差数列,证明,,成等差数列.【思维·引】1.a,b的等差中项为(a+b).2.根据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即可求出公差.3.由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.【解析】1.选A.a,b的等差中项为×=×(-++)=.-15-/15考试2.选C.因为{an}是等差数列,a1与a2的等差中
8、项为1,a2,a3的等差中项为2,所以a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.3.因为,,成等差数列,所以=+,化简得2ac=b(a+c),又+======2·,所以,,成等差数列.【内化·悟】三数a,b,c成等差数列的条件是什么?可用来解决什么问题?提示:条件是b=(或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.【类题·通】1.等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1
9、;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,n∈N+,m
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