2020_2021学年新教材高中数学第五章数列5.2.1第2课时等差数列的性质学案含解析新人教B版选择性必修第三册202103151126.doc

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1、高考第2课时　等差数列的性质最新课程标准1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)[教材要点]知识点一　等差数列的图像等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以________为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．知识点二　等差中项如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的________，且A＝.　任意两数都有等差中项吗？[提示]　是．知识

2、点三　等差数列的性质(1){an}是等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝________.①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，2as＝ap＋aq.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的________，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为________数列．(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为________的等

3、差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为________的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为________的等差数列．(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为________数列；d<0⇔{an}为________数列；d＝0⇔{an}为常数列．　能用am和d表示an吗？如何表示？[提示]　能．an＝am＋(n－m)d.高考[基

4、础自测]　　1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　)A．12　　B．16C．20　　D．242．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝(　　)A．36　　B．37C．38　　D．393．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)A．0B．37C．100D．－37题型一　等差中项及其

5、应用例1　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．方法归纳三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．跟踪训练1　已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　)A.　　　　　　　　　　B.高考C.　　D.题型二　等差数列通项公式的推广例2　(1)已知等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为(　　)A．－　B.C．－1D．1(2

6、)已知数列{an}中，a3＝，a7＝，且是等差数列，则a5＝(　　)A.B.C.D.方法归纳1．利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．2．巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．3．通项公式的变形形式an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，它又可变形为d＝，应注意把握，并学会应用．跟踪训练2　(1)已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则数列{an}的通项公式为________；(2)若x≠y，且两个数列x，a1，a2

7、，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于________．题型三　等差数列的性质1.数列1,2,3,4,5,6,7,8，…是等差数列吗？1,3,5，7，…是等差数列吗？2,4,6,8，…是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？[提示]　这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列．2．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4吗？

8、a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？[提示]　由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4高考均成立，由此有若s，t，p，q∈N＋且s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.对于任意等差数列{an}，设其公差为d.则as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d＝2a1＋(s＋t－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因s＋t＝p＋q，故as