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《高中圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)规律技巧总结.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义:(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于
2、F1F2
3、,定义中的“绝对值”与2a<
4、F1F2
5、不可忽视。若2a=
6、F1F2
7、,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥
8、F1F2
9、,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点F
10、1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A.PF1PF24B.PF1PF26C.PF1PF210D.PF12212(答:C);PF2(2)方程(x6)2y2(x6)2y28表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点Q(22,0)及抛物线yx2上一动点4P(x,y),则y+
11、
12、PQ
13、的最小值是_____(答:2)2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在x轴上时x2y21b0)xacos(参数方程,其中为参数),a2b2(aybsin22焦点在y轴上时y2x2=1(ab0)。方程Ax2By2C表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠ab,且A,B,C同号,A≠B)。如()已知方程x2y21表示椭圆,则k的取值范围为____013k2k(答:(3,1)U(1);()若x,yR,且226,则xy的最大值是____,x22的最2,2)23x2yy2
14、小值是___(答:5,2)2222(2)双曲线:焦点在x轴上:x2y2=1,焦点在y轴上:y2x2=1(a0,b0)。方程ababAx2By2C表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。如(1)双曲线的离心率等于5,且与椭圆x2y21有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:x221);()设中心294y241在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e2的双曲线C过点P(4,10),则C的方程为_______(答:x2y26)(3)抛物线:开口向右时y22px(p0),开口向左时y22px(p0),开口向上
15、时x22py(p0),开口向下时x22py(p0)。3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):(1)椭圆:由x2,y2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程x2y21m12m表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:(,1)(1,3))2(2)双曲线:由x2,y2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标
16、准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,a最大,a2b2c2,在双曲线中,c最大,c2a2b2。4.圆锥曲线的几何性质:(1)椭圆(以x2y21(ab0)为例):①范围:axa,byb;②焦点:两个焦a2b2点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;④准线:两条准线xa2;⑤离心率:ec,椭圆0e1,eca越小,椭圆越圆;e越大,椭圆
17、越扁。如(1)若椭圆x2y21的离心率e10,则m的值是__(答:5m53或25);(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小3值为__(答:22)(2)双曲线(以x2y20,b0)为例):①范围:xa或xa,yR;②焦点:两a21(ab2个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为2x2y2k,k0;④准线:两条准线xa2;⑤离心率:ec,双曲线e1,等轴
18、双曲线cae2,e越小,开口越小,e越大,开口越大;⑥两条渐近线:ybx。如(1)双曲线的渐a近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______(答:13或13);(2)双曲线ax2by2123的离心率为5,则a: