圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结.docx

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1、椭圆的定义、性质及标准方程1.椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0e1)，则动点M的轨迹叫做椭圆。定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段F1F2。②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。2.椭圆的标准方程、图形及几何性质：x2y21(ab0)中y2x21(ab0)标准方程a2b2a2b2x轴上y轴上心在原点，焦点在中心在原点，焦点在

2、图形范围xa，ybxb，yaA1，、A2，，、A2，顶点a0a0A10a0a，、B2，B1，、B2，B10b0bb0b0x轴、y轴；x轴、y轴；对称轴长轴长2a，短轴长2b；长轴长2a，短轴长2b；焦点在长轴上焦点在长轴上焦点F1c，0、F2c，0F10，c、F20，c焦距F1F22(0)F1F22c(c0)cc离心率ec(0e1)ec(0e1)aa准线xa2ya2cc参数方程x2y21的参数方程为y2x21的参数方程为a2b2a2b2与普通方xacosyacos程为参数为参数ybsinxbsin3.焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设F1

3、、F2分别是椭圆的左、右焦点，Px，y0是0椭圆上任一点，则PF1aex0，PF2aex0。推导过程：由第二定义得PF1e（d1为点P到左准线的距离），d1则PF1ed1a2aex0；同理得PF2aex0。ex0ex0ac简记为：左“＋”右“－”。由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。x2y21；若焦点在y轴上，则为y2x21。有时为了运算方便，设a2b2a2b2mx2ny21(m0,mn)。双曲线的定义、方程和性质知识要点：1．定义（1）第一定义：平面内到两定点F12的距离之差的绝对值等于定长12、F2a（小于

4、FF

5、）的点的轨迹叫双曲线。说明：①

6、

7、PF1212

8、-

9、

10、PF

11、

12、=2a（2a<

13、FF

14、）是双曲线；若2a=

15、F1F2

16、，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>

17、F1F2

18、时无轨迹。②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则

19、MF1

20、>

21、MF2

22、，

23、MF1

24、-

25、MF2

26、=2a；若M在双曲线的左支上，则

27、MF1

28、<

29、MF2

30、，

31、MF1

32、-

33、MF2

34、=-2a，故

35、MF1

36、-

37、MF2

38、=±2a，这是与椭圆不同的地方。（2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。2．双曲线的方程及几何性质标准方程x2y2y2x21(a0,b0)ab1(a0,b0)a2b22

39、2图形焦点F1（-c，0），F2（c，0）F1（0，-c），F2（0，c）顶点A1（a，0），A2（-a，0）A1（0，a），A2（0，-a）对称轴实轴2a，虚轴2b，实轴在x轴上，实轴2a，虚轴2b，实轴在y轴上，c2=a2+b2c2=a2+b2离心率ec

40、MF2

41、ec

42、MF2

43、a

44、MD

45、a

46、MD

47、l:xa2,l:xa2l1:ya2,l:ya21c2cc2c准线方程2a2准线间距离为2a2准线间距离为cc渐近线方程xy0,xy0xy0,xy0ababbaba3．几个概念（1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。（2）共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴

48、，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例：x2y21的共轴双曲线是x2y21。a2b2a2b2①双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线。注：①定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M；一定点F（即焦点）；一定直线l（即准线）；一定值1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1）②定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上。若F在l上，抛物线退

49、化为过F且垂直于l的一条直线③圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0e1时，表示椭圆；当e1时，表示双曲线；当e1时，表示抛物线。④抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。二、抛物线标准方程1．抛物线标准方程建系特点：