2021届新课改地区高三数学专题复习第36讲 数列的递推关系与通项（解析版）.docx

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1、第36讲：数列的递推关系与通项一、课程标准1、掌握常见的根据的递推关系式求数列的通项公式2、掌握求常见数列的通项公式的方法二、基础知识回顾正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．(2)对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．2．避免2种失误(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误

2、；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．三、自主热身、归纳总结1、数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项可能是(　　)A．an＝B．an＝C．an＝D．an＝【答案】A　【解析】数列为，，，，，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为an＝.2、在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)A.　　　　B.　　　　10/10C.　　　　D.【答案】D　【解析】a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.3、已知数列

3、{an}中，a1＝1中，an＋1＝an＋n(n∈N*)中，则a4＝________，an＝________.【答案】7　【解析】由题意可得a1＝1，an＋1－an＝n，则：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝1＋＝，则a4＝＝7.4、设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.【答案】　【解析】　由条件知an＋1－an＝n＋1.则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝.5、在数列{an}中，a1＝3，且点Pn

4、(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．【答案】an＝·4n－1－【解析】因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0，即an＋1＝4an＋1，得an＋1＋＝4，所以是首项为a1＋＝，公比为4的等比数列，所以an＋＝·4n－1，故an＝·4n－1－.一、例题选讲考点一有递推关系研究数列的通项例1、在数列中，已知，且对于任意的，都有，则数列的通项公式为（）10/10A．B．C．D．【答案】D【解析】令m=1,得，所以，故选D。变式1、(2019南京学情调研）在数列{an}中，

5、已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a10的值为________．【答案】【解析】解法1(裂项法)由an＋1＝an＋得an＋1－an＝－，故a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，a10－a9＝－，所以a10＝.解法2(常数列)由an＋1＝an＋，得an＋1＋＝an＋，故a10＋＝a1＋1＝2，即a10＝.变式2、　(1)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求{an}的通项公式；(2)在数列{an}中，已知a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－2)an(n∈N*)，an≠0，求an.【解析】　(1)对an＋1＝两边“取倒数”，得＝，即＝

6、2n＋，∴－＝2n.∴n≥2时，－＝2n－1，－＝2n－2，…，－＝22，－＝2，将以上各式累加得，得－＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＝＝2n－2，∴＝2n－1，∴an＝，当n＝1也满足，∴an＝.(2)因an≠0，由(3n＋2)an＋1＝(3n－2)an，得＝，∴n≥2时，＝，＝，…，＝，＝，逐项累乘，得＝，∴an＝，当n＝1也满足，∴an＝.变式3、(一题两空)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则a2＝______，通项公式an＝________.10/10【答案】　4－【解析】由已知，a2＝a1＋＝3＋＝.因为an＋1－an＝＝－，所以a2－a1＝1－，a3－

7、a2＝－，…an－an－1＝－，所以以上(n－1)个式子累加可得，an－a1＝1－，因为a1＝3，所以an＝4－.变式4、(多选)已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　)A．a3＝－1B.a2019＝C．S6＝3D．2S2019＝2019【答案】ACD　【解析】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－(n∈N*)，可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…，所以an＋3＝an，数列的周期为3，a2019＝a672×3＋3＝a3＝－1，S