数列通项公式的几种求法(20201226232517).docx

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1、数列通项公式的几种求法、公式法2，求数列｛an｝的通项公式。例1已知数列｛an｝满足ani2an32n,印88解：ani2an32n两边除以2n1，得罷刖3，则開3以—为公差的等差数列，2由等差数列的通项公式，冷1，故数列｛为是以卑-1为首项，2222121(n1)

2、，所以数列｛an｝的通项公式为an(ln2)2n。评注：本题解题的关键是把递推关系式接利用等差数列的通项公式求出电2nan12an32n转化为%空?，说明数列｛卑｝是等差数列，再直1(n1)3，进而求出数列｛an｝的通项公式。2、累加法例2已知数列｛an｝满足an1an2n1，

3、a11，求数列｛an｝的通项公式。解：由an1an2n1得an1an2n1则an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2aja1[2(n1)1][2(n2)1]L(221)(211)12[(n1)(n2)L21](n1)12^^(n1)12(n1)(n1)12n2所以数列｛an｝的通项公式为ann。本题解题的关键是把递推关系式an1an2n1转化为an1an2n1，进而求出(anan1)(an1an2)L(a3a?)(a2aja1，即得数列｛an｝的通项公式。已知数列｛an｝满足an1an1,a13，求数列｛an｝的通项公式。an

4、1an3n1an1an23n18an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1(23n11)(23n21)L(2321)(2311)32(3n13n2L3231)(n1)33(13n1)(n1)32133n3n133nn1所以an3nn1.评注：本题解题的关键是把递推关系式an1an23n1转化为an1an23n1，进而求出an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1，即得数列｛an｝的通项公式。已知数列｛an｝满足an13an23n1，a13，求数列｛an｝的通项公式。解:an13an23n1两边除以

5、3n1得an1an213na3nan-n因此an3n2(n1)33n(13n1)133n3n评注：本题解题的关键是把递推关系式an13n13n3)L32)1L鱼323一323n3an23nan3n-占，进而求出33n1(anan1)(an1an2)(an2(3门3门1丿(3门13门2丿(3门2an3)a2，即得数列an的通项公式，最后再求数列｛an｝的88通项公式。三、累乘法例5已知数列｛an｝满足an12(n1)5nan，印3，求数列｛a.｝的通项公式。8a解：因为an12(n1)5na.,43，所以a.0,则亠2(n1)5n，故anan

6、an1[a3a2a.-一L耳an1an2a2a1[2(n11)5"1][2(n21)5"2]L[2(21)52][2(11)51]32n1[n(n1)L32]5(n1)(n2)L213n(n1)32n1n!n(n1)所以数列｛an｝的通项公式为an32n15亍nL评注：本题解题的关键是把递推关系an12(n1)5nan转化为空2(n1)5n,进而求出ananan1an1an2a3a2a1，即得数列｛an｝的通项公式。a?a〔88（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列｛an｝满足1，ana12a23a3L(n1)an,n2)，求｛

7、an｝的通项公式。解：因为ana12a23a3L(n1)an1(n2)所以an1a12a23a3L(n1)an1nan用②式一①式得an1annan.则an1(n1)an(n2)故骚ann1(n2)所以ananan1lan1an2a3a2a2[n(n1)n!3]a2a2.2由ana12a23a3(n1)an1(n2)，取n2得a2a2a2，则a?6，又知1，则a?1，代88入③得an1345L-8所以，｛an｝的通项公式为ann!2a评注：本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)转化为亠n1(n2),进而求出an2时，an的表

8、达式，最后再求出数列｛an｝的通项公式。_^丄旦」La3a2，从而可得当nan1an2a2四、待定系数法例7已知数列｛an｝满足an12an35n,ai6，求数列an的通项公式。解：设an1x5n12(anx5n)④88将an12an35n代入④式，得2a.35nx5n12an2x5n，等式两边消去2an，得881,代入④式得an15n12(an5n)35nx5n12x5n，两边除以5n，得35x2x,则x881n由a156510及⑤式得an50，则nan15nan5_n12，则数列｛an5｝是以a151为首项，以2为88公比的等比数列，则

9、an5n2n1，故an2n15n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an35n转化为an15n12(a“5n)，从而可知数列｛an5n｝是等比数列，进而求出数列｛an5n