数列的通项公式的几种常用求法(文科)

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1、1、公式法：等差数列、等比数列的通项公式的求法：若在已知数列中存在：（常数）或的关系，可采用求等差、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项。2、非等差、等比数列的通项公式的求法。（1）观察法：通过观察数列中的项与项数的关系，找出项与项数n的关系。（2）累差法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“类差法”求通项。例、在数列中，，求数列的通项公式。分析：由已知，n取1，2，3，…，然后把(n-1)个等式相加。解：由已知得：。把上面（n-1）个等式相加得：（3）累积法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累积法”求通项。例、在数列中，，且有：，共线，求数列的

2、通项分析：根据共线，得：，然后利用累积法求通项。解：由已知得：。3：若在已知数列中存在：或的关系，可以利用求数列的通项。例、已知数列的各项都是正数，且，求数列的通项公式。分析：根据已知条件：求出与n的关系式，再根据，求出数列的通项。解：由--------------（1）得：------------（2）把代入（2）得：整理得：，易求得，由此可知：数列是以为首项，1为公差的等差数列。故，即而且n=1时，也满足上式。·对一切的，都有。例.数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：，于是所以.（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列

3、是以2为首项，2为公差的等差数列，所以·4辅助数列法：对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。(2006.重庆.14）数列中，若，则通项例.已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.例、数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2

4、=1－2=－1，∴数列{a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列∴a－2=－（）∴a=2－（）变形.递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异．例．设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.类型2形如:递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型。(取倒数法)例：解：取倒数：是等差数列，类型3递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方

5、法解决。例.已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以例．已知数列满足，，求．解：将两边同除，得设，则．令．条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列．．因,．类型4递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。例.已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。类型5双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解

6、。◆例11.已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.解：因所以即…………………………………………（1）又因为所以…….即………………………（2）由（1）、（2）得：，2、通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。例：已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；例、数列满足=0，求数列{a}的通项公式。分析：递推式中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列。解：由得即，且∴是以2为公比，3为首项的等比数列∴

7、利用逐差法可得====∴例、数列中，，求数列的通项公式。解：由得设比较系数得，解得或若取，则有∴是以为公比，以为首项的等比数列∴由逐差法可得===说明：若本题中取，则有即得为常数列,故可转化为例13。例．已知数列满足,,求．解：设或则条件可以化为是以首项为，公比为的等比数列,所以．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得．点评：递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数s、t由,求出，从而化归为上述已知题型．2、对于由递推公式，例20：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数——迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入