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《例谈数列通项公式的几种求法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、例谈数列通项公式的几种求法郭守虎本文试图通过例题,阐述数列通项公式的一般求法。1、由数列前几项,通过观察归纳,猜想及出通项公式。例1:①已知数列{an}中,a1=2,当n≥2时,an=3an-1+2,写出这个数列的前5项,并求出通项an。解:a1=2=31-1,a2=3a1+2=3×2+2=8=32-1a3=3a2+2=26=33-1,a4=3a3+2=80=34-1a5=3a4=3×80+2=242=35-1……由此归纳,猜想,得an=3n-1。②数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an+1=,求an,解:a1=1,a2==,a3==a4==,a5==∴前5项
2、为a1=1=,a2=,a3=,a4=,a5=……由此可见an=2、由Sn或Sn与an关系,求an,利用求出后要验证an是否满足a1。例2:①已知数列{an}前n项和Sn=4n2+3n。求证:{an}是等差数列。分析:先求an,再证明。9证明:当n=1时,a1=s1=4×12+3×1=7当n≥2时an=sn-sn-1=4n2-[4(n-1)2+3(n-1)]=8n-1当n=1时,a1=8×1-1=7,满足a1∴{an}是等差数列。②已知数列{an}中,sn是它的前几项和,且sn+1=4an+2,a1=1,设bn=an+1-2an(n∈N*),求证{bn}是等比数列,并
3、求出它的项公式。解:∵sn+1=4an+2∴sn+2=4an+1+2∴an+2=sn+2-sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4(an+1-an)∴an+2-2an+1=2(an+1-2an)又bn=an+1-2an∴bn+1=an+2-2an+1=2(an+1-2an)=2bn∴{bn}是2为公比的等比数列。a2=3a1+2=5∵a1=1,b1=a2-2a1=3∴bn=b1·qn-1=3.2n-13、由递推公式(或归纳出递推公式),求项公式an常见递推公式有以下几种形式。Ⅰ形式an=an-1+f(n)+p(p为常数,f(n)是关于n的表达式),常累加法。例3
4、①数列2,22,222,2222,……的一个项公式是9。分析:a2-a1=20a3-a2=200a4-a3=2000……由此可见an-an-1=2×10n-1∴an-1-an-2=2×20n-2共(n-1)个等式an-2-an-2=2×10n-3……a3-a2=2×102a2-a1=2×101两边分别相加的:an-a1=2×(101+102+103+……+10n-1)∴an=a1+2×(n≥1且n∈N*)②已知数列{an}满足:a1=1an=an-1+3n-1(n≥2)①求a2,a3;②证明:an=解:①an=1a2=a1+32-1=4a3=a2+33-1=13②当
5、n≥2时an=an-1+3n-1∴an-an-1=3n-1an-1-an-2=3n-29共(n-1)个等式an-2-an-3=3n-3……a3-a2=32a2-a1=31两边相加,等:an-a1=31+32+……+3n-1=∴an=Ⅱ形为an=pan-1+q(p,q为常数且p≠0,q≠0)常转化成特殊数列(等比数列)具体做法是:设:an+α=p(an-1+α)比较系数,及x=,而{an+α}是以(a1+α)为首项,p为公比的等比数列。例41、设数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an=3an-1+2,求an解:当n≥2时an+α=3(an-1+α)2α=2α=
6、1∴有an+1=3(an-1+1)∴数列{an+1}是以a1+1=2为前项,3为公比的等比数列∴an+1=2·3n-1an=2·3n-1-1当n=1时a1=2·31-1=1∴an=2·3n-1-1(n∈N*)92、设二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有两个实要根α、β,且满足6α-2αβ+6β=3①试用an表示an+1;②求证{an-}是等比数列;③当a1=时,求{an}的通项公式。解:①由韦达定理得:代入6α-2αβ+6β=3,化简得:an+1=②由①知,an+1=令an+1+α=(an+α)即an+1=,比较系数,及:∴有an+1-=(an-)∴{
7、an-}是(a1-)为首项,为公比的等比数例。③当a1=时,a1-=an-=·()n-1=()n∴an=()n+(n∈N*)Ⅲ.形为an+1=pan+qn(p≠0),转化成特殊数例。例5.设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N*)证明对任意n≥1,an=[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2na0.证明:设an-α·3n=-2(an-1-α·3n-1)则an=-2an-1+2α·3n-1+α·3n=-2an-1+5α·3n-19与an=-2an-1+3n-1比较系数,得:α=∴有an-·3n=-2(an-1-3n-1)∴{an-3n}是以a1