浅谈参数范围问题的解题策略.doc

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1、浅谈参数范围问题的解题策略摘要：高中数学中，含参数取值范围的题目经常出现在高考题中，而这类题目一直是教学的难点，本文对此类问题的解题策略进行总结。关键词：参数范围正文：高中数学中，求方程、不等式中字母参数的取值范围问题，常出现在各地的高考模拟试卷或高考试卷中，我们不妨称这类题型为参数范围问题。由于这类问题具有变量多、知识棉广、综合能力要求高等特点。因此解题时学生常常难以下手。这里对这类题型的主要解题策略综述如下：一．按定义进行讨论大家知道，如果一条直线与平面所成的角为，那么若，则；若，则与斜交。像这种按定义进行讨论的方法，又被人们称为“标准

2、化”式的讨论方法。显然，这种讨论只要掌握了定义的本质含义，又具有一定的恒等变形能力，一般是不难获得正确结论的。例1：当a＞1时，求点P(0，a)到曲线y＝︱－1︱上的点Q(x，y)的距离的最小值。解：︱PQ︱2＝x2＋(y－a)2＝x2＋[︱－1︱－a]2当0≤x2≤2，即－≤x≤时，︱PQ︱2＝x2＋(1－－a)2＝(x2＋2a)2＋1－2a注意到a＞1∴当x＝0时，︱PQ︱min＝a－1当x2＞2，即x＜－或x＞时，︱PQ︱2＝x2＋(－1－a)2＝(x2－2a)2＋2a＋1∴当x2＝2a时，︱PQ︱min＝，因(a－1)2－(2a＋1

3、)＝a(a－4)，故有当1＜a≤4时，a－1≤，此时︱PQ︱min＝a－1；当a＞4时，a－1＞，此时︱PQ︱min＝。注：本题开始视x为参数，利用绝对值概念进行讨论，继而又视a为参数进行讨论，最后归纳出符合题设的结论。二、最值法利用最值方法求参数范围问题的依据是：a≥f(x)恒成立＜==＞a≥f(x)的最大值；a≤f(x)恒成立a≤f(x)的最小值。例2：已知f(x)是定义域为(－∞,4]上的减函数，求使不等式f(m－sinx)≤f(－＋cos2x)对一切实数x都成立的m的取值范围。解：由f(x)是定义域为上(－∞,4]的减函数和所给不等

4、式得以上不等式对一切实数x都成立。把参数m分离出来，得∴解之，得∴≤m≤3或m＝－所以，m的取值范围是{m︱≤m≤3或m＝－}三、均值不等式变量的取值范围，其背景都是一个不等关系。因此，变量的取值范围问题的讨论，关键在于根据题设条件，巧妙构思，创造条件，寻找不等关系式。均值不等式是一个重要的不等式，也是一个常用的不等式。例3：试求m的取值范围，使得曲线y＝x2的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分。解：先考虑其反面，求弦被直线平分时m的取值范围。设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y＝x2上关于直线y＝m(x－3)对称的两点，

5、则易得x1＋x2＝－，＝＝m(－3)＝－－3m∵x1≠x2∴x12＋x22＞即(2m＋1)(6m2－2m＋1)＜0∴m＜－故所求m的取值范围是[－，＋∞]。例4：设x、y、z均为正实数，且x＋y＋z＝1，求＋＋的最小值。解：引入参数λ(λ＞0)，则λx＋λy＋λz－λ＝0＋＋＝＋λx＋＋λy＋＋λz－λ≥2等号成立的条件是∴将上式代入x＋y＋z＝1得λ＝36∴＋＋≥36故＋＋的最小值是36。四、“图形法”“定范围问题”中的多数可通过直观方法来处理，常见的有利用直线束与一定曲线，或定直线与曲线束，或直线束与曲线束的位置关系来确定参数的取值范围

6、。例5：已知0＜x＜2π，方程sinx＋cosx－m＝0有相异的解α、β，求m的取值范围。分析由题设条件可知点A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)为直线l：y＋x－m＝0与单位圆的两交点。这样问题等价于m满足什么条件才能保证直线与单位圆有两个不同的交点。∵0＜x＜2π∴直线l与单位圆必不交于点(1，0)，由此得m≠由直线l：y＋x－m＝0与单位圆x2＋y2＝1有两个不同交点A(cosα，sinα)和B(cosβ，sinβ)，得d＝＝＜1∴－2＜m＜2且m≠五、划分区间法划分区间，就是把参数的变化范围划成若干个以参数特征值为端点

7、的小区间分别进行讨论。在这里，根据命题的特定条件确定参数的一个或几个特征值就成为解题的关键。例6：当p取何值时，不等式p[x2－(p2＋p＋2)x＋p3＋2p2]≤0中x的最大值为3？解：原不等式可化为p[x－(p＋2)]·(x－p2)≤0。显然，要使原不等式的x有最大值，必须p＞0∴[x－(p＋2)]·(x－p2)≤0(*)求出二次三项式[x－(p＋2)]·(x－p2)的两根，分别为p＋2和p2因p2－(p＋2)＝(p－2)·(p＋1)，而p＋1＞0，故p2－(p＋2)的符号由p－2而定，所以“2”就是所要找的特征值。讨论：（1）当p＞2

8、时，有p＋2＜p2，由(*)式得p＋2≤x≤p2，注意到x的最大值为3，∴p2＝3即p＝，此与p＞2矛盾，舍去；（2）当0＜p＜2时，有p＋2＞p2，由(*)式得p2≤x≤p＋2