2020-2021学年高一数学下学期期中专项第10章 三角恒等变换【专项】苏教版2019.doc

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1、第10章三角恒等变换专项训练【第1节两角和与差的三角函数】题型一　两角差的余弦公式的简单应用【例1】　(1)cos(－15°)的值是(　　)A.B.C.D.(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.(3)＝________.解析　(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos60°＝.(3)原式＝＝＝＝cos15°＝cos(

2、60°－45°)＝.答案　(1)D　(2)　(3)规律方法　利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.【训练1】　求下列三角函数式的值：(1)sin；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.解　(1)原式＝cos(－)＝cos＝cos[－(－)]＝coscos(－)＋sinsin(－)＝.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.题型二　给值求值【例2】　已知α，β为锐角，且

3、cosα＝，cos(α＋β)＝－，求cosβ的值.(1)β＝(α＋β)－α(2)在求sin(α＋β)时需注意α＋β的范围，注意符号的选取解　∵0<α，β<，∴0<α＋β<π.由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝＝＝.又∵cosα＝，∴sinα＝.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝×＋×＝.规律方法　给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.(2)常见角的变换：①α

4、＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).【训练2】　已知sinα＝，α∈，cosβ＝－，β∈，求cos(α－β)的值.解　∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－＝－.又β∈，cosβ＝－，∴sinβ＝－＝－.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.题型三　给值求角【例3】　已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值.解　∵α，β∈且cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝＝，sin(α＋β)＝＝.又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋

5、β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.又∵β∈，∴β＝.规律方法　已知三角函数值求角的解题步骤(1)求所求角的某种三角函数值(为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数).(2)结合三角函数值及角的范围求角.【训练3】　已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求β的大小.解　∵sin(π－α)＝sinα＝，0<α<，∴cosα＝，又∵0<β<α<，∴0<α－β<，又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝＝.

6、又∵0<β<，∴β＝题型四　公式的正用和逆用【例4】　求值：(1)sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝________；(2)sin15°＋sin75°＝________；(3)已知α，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，则sin(α＋β)的值为________sin(α－β)的值为________.解析　(1)sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝sin(20°＋40°)＝sin60°＝.(2)sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＋sin

7、45°cos30°＋cos45°·sin30°＝2sin45°cos30°＝.(3)∵α，β都是锐角，且sinα＝，sinβ＝，∴cosα＝＝＝，cosβ＝＝＝.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝.答案　(1)　(2)　(3)　规律方法　探究解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项

8、求值，化分子、分母形式进