大学复变函数课件-解析函数的幂级数表示方法.doc

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1、第四章解析函数的幂级数表示方法第一节级数和序列的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：在这里，是复数，一般简单记为。按照是有界或无界序列，我们也称为有界或无界序列。设是一个复常数。如果任给，可以找到一个正数，使得当n>N时,那么我们说收敛或有极限，或者说是收敛序列，并且收敛于，记作。如果序列不收敛，则称发散，或者说它是发散序列。令，其中a和b是实数。由不等式容易看出，等价于下列两极限式：因此，有下面的注解：注1、序列收敛（于）的必要与充分条件是：序列收敛（于a）以及序列收敛（于b）。注2、复数序列也可以解释为

2、复平面上的点列，于是点列收敛于，或者说有极限点的定义用几何语言可以叙述为：任给的一个邻域，相应地可以找到一个正整数，使得当时，在这个邻域内。注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。定义4.1复数项级数就是或记为，或，其中是复数。定义其部分和序列为：如果序列收敛，那么我们说级数收敛；如果的极限是，那么说的和是，或者说收敛于，记作，如果序列发散，那么我们说级数发散。注1、对于一个复数序列，我们可以作一个复数项级数如下则序列的敛散性和此级数

3、的敛散性相同。注2级数收敛于的定义可以叙述为：，注3如果级数收敛，那么注4令，我们有因此，级数收敛于的充分与必要条件是：级数收敛于a以及级数收敛于b。注5关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：定理4.2柯西收敛原理（复数项级数）：级数收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正整数N，使得当n>N，p=1,2,3,…时，柯西收敛原理（复数序列）：序列收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正整数N，使得当m及n>N，对于复数项级数，我们也引入绝对收敛的概念：定义4.2如果级

4、数收敛，我们称级数绝对收敛。非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛复级数收敛的一个充分条件为级数收敛注1、级数绝对收敛必要与充分条件是：级数以及绝对收敛：事实上，有注2、若级数绝对收敛，则一定收敛。例4.1当时，绝对收敛；并且有我们有，当时，定理4.1如果复数项级数及绝对收敛，并且它们的和分别为，那么级数也绝对收敛，并且它的和为。2、复变函数项级数和复变函数序列：定义4.3设在复平面点集E上有定义，那么：是定义在点集E上的复函数项级数，记为，或。设函数f(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，级数都收敛于，那么我们说此复函数

5、项级数在E上收敛于，或者此级数在E上有和函数，记作设是E上的复函数列，记作或。设函数在E上有定义，如果在E上每一点z，序列都收敛于，那么我们说此复函数序列在E上收敛于，或者此序列在E上有极限函数，记作注1、复变函数项级数收敛于的定义可以叙述为：注2、复变函数序列收敛于的定义可以叙述为：定义4.4如果任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当时，有或那么我们说级数或序列在E上一致收敛于或。注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理：定理4.5柯西一致收敛原理（复函数项级数）：复函数项级

6、数在E上一致收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当，p=1,2,3,…时，有柯西一致收敛原理（复函数序列）：复变函数序列在E上一致收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当时，有注2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法(优级数准则)：设在复平面点集E上有定义，并且设是一个收敛的正项级数。设在E上，那么级数在E上绝对收敛且一致收敛。这样的正项级数称为复函数项级数的优级数.定理4.6设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线。设在集E上连续，并且级数或序列在E

7、上一致收敛于或，那么f(z)或在E上连续。定理4.7设在简单曲线C上连续，并且级数或序列在C上一致收敛于或，那么或注1、在研究复函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。定义4.5设函数在复平面C上的区域D内解析。如果级数或序列在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于或，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于或。定理4.9（魏尔斯特拉斯定理）设函数在区域D内解析，并且级数或序列在D内闭一致收敛于

8、函数或，那么或在区域D内解析，并且在D内或证明：先证明在D内任一点解析，取的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理4.7以及柯西定理，因为根据莫勒拉定理，可见在U内解析。再由于是D内任意一点，因此在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是，对于一致收敛于。由定理4.7，我们有也就是因此，定理中关于级数的