复变函数幂级数(II)

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1、第四章级数§4.1复数项级数1.复数列的极限2.级数的概念1.复数列的极限定义又设复常数：定理1证明例1判断下列数列是否收敛？若收敛，求出其极限。2.级数的概念级数的前面n项的和---级数的部分和不收敛---无穷级数定义设复数列：例2解定理2证明由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题。性质定理3证明?定义由定理3的证明过程，及不等式定理4解例2练习：1.幂级数的概念2.收敛定理3.收敛圆与收敛半径4.收敛半径的求法5.幂级数的运算和性质§4.2幂级数1.幂级数的概念定义设复变函数列：---称为复变函数项级数级数的最前面n项

2、的和---级数的部分和若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中称为幂级数2.收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1(阿贝尔(Able)定理）证明(2)用反证法，3.收敛圆与收敛半径由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处　处收敛。(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。显然，<否则，级数(3)将在处发散。将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c

3、内部都是红色,逐渐变小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。故播放(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.4.收敛半径的求法定理2(比值法)证明定理3(根值法)定理3(根值法)定理2(比值法)例1解综上例2求下列幂级数的收敛半径5.幂级数的运算和性质代数运算---幂级数的加、减运算---幂级

4、数的乘法运算---幂级数的代换(复合)运算幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.例3解代换解代换展开还原分析运算定理4---幂级数的逐项求导运算---幂级数的逐项积分运算例4求幂级数的和函数及收敛圆.1.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开式§4.3泰勒(Taylor)级数1.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯

5、定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。定理1（泰勒展开定理）Dk分析：代入(1)得Dkz---(*)得证！证明2.展开式的唯一性结论解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。---直接法---间接法代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：3.简单初等函数的泰勒展开式例1解上述求sinz,co

6、sz展开式的方法即为间接法.例2把下列函数展开成z的幂级数:解(2)由幂级数逐项求导性质得：(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z<1.练习定理1.预备知识2.双边幂级数3.函数展开成双边幂级数4.展开式的唯一性§4.4罗朗(Laurent)级数由§4.3知,f(z)在z0解析，则f(z)总可以在z0的某一个圆域z-z0

7、1<z-z0

8、则级数在z-z0=R2内收敛，且和为s(z)+;在z-z0=R2外发散。z0R1R2z0R2R1(2)在圆环域的边界z-z0