复变函数幂级数(I)

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1、1.幂级数的概念2.收敛定理3.收敛圆与收敛半径4.收敛半径的求法5.幂级数的运算和性质§2幂级数第四章解析函数的幂级数表示法定义设复变函数列：称为复变函数项级数.称为（1）的部分和.1.幂级数的概念2.收敛定理定理1(阿贝尔(Able)定理）a3.收敛圆与收敛半径由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)在复平面上处处收敛;(ii)在复平面上除z=a外处处发散;a将收敛部分染成红色，将发散部分染成蓝色，红色、蓝色不会交错幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。收敛圆收敛圆

2、周收敛半径?(根值法)(比值法)4.收敛半径的求法分析运算定理4---幂级数的逐项求导运算---幂级数的逐项积分运算5.幂级数的运算和性质代数运算---幂级数的加、减运算---幂级数的乘法运算注：幂级数在收敛圆内绝对收敛满足加法的结合律、交换律及分配律---幂级数的代换(复合)运算幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.例3分析：代换解代换展开还原§3解析函数的泰勒展式通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不

3、但有理论意义，而且很有实用价值.Taylor定理：设f(z)在区域D内解析，a∈D，只要圆K:∣z-a∣

4、z

5、<+∞根据泰勒展式的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数，基本展开公式如下：例3：将cosz和si

6、nz以z=0为中心展为Taylor级数。解：

7、z

8、<+∞注意：代数运算交换律与结合律级数的绝对收敛

9、z

10、<+∞逐项求导逐项求导法1代换解：逐项积分法解：代数运算,代换交换律与结合律级数的绝对收敛绝对收敛级数的乘法（柯西乘积）解：将上面两式直接相乘即可。解：利用参照多项式的除法解：化成微分方程法于是对上逐次求导有令则依次可得到据直接法进而得到此函数的在0点的幂级数展开式（即麦克劳林级数）解：先计算展开系数……例将f(z)=（1+z)m在z=0展为Taylor级数。易求其收敛半径为1，故式中在许多的单值分支中，n＝0那一支即的那一个叫作的主

11、值。上式也就是指数为非整数的二项式定理。azRr