2020-2021学年高二数学（文）下学期期中复习07 基本不等式与柯西不等式【专项】解析版.doc

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1、专题07基本不等式与柯西不等式【专项训练】2020-2021学年高二数学下学期期中专项复习一、单选题1．（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中（文））下列命题中，正确的是（）A．的最小值是4B．的最小值是2C．如果，，那么D．如果，那么【答案】D【分析】A．取特值判断；B．利用基本不等式求出最值判断；C．利用不等式的性质判断；D．利用不等式的性质判断．【详解】解：A．时，不正确；B．，当且仅当时等号成立，这样的不存在，故最小值不为2，不正确；C．，，那么即，因此不正确；D．，，，正确．故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，不等式的基本性质，属

2、于基础题．2．（2020·广西民族高中高二期中）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由，根据不等式的性质，以及基本不等式，即可得到结果．【详解】因为所以，；由基本不等式可得；所以.故选：B．【点睛】本题主要考查了不等式的性质和基本不等式的应用，属于基础题.3．（2020·四川眉山市·仁寿一中高三月考（文））已知：，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用柯西不等式，可得,解不等式即可.【详解】解:利用柯西不等式，得,，解得.故选:B【点睛】本题是一道求代数式取值范围的题目，关键是掌握柯西不等式.4

3、．（2020·开鲁县第一中学高二期中（理））已知a，，，则的最大值为（）A．18B．9C．D．【答案】C【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值.【详解】由题意，，当且仅当时等号成立，当，时，故的最大值为.故选：C.【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.5．（2020·宝鸡中学高二期中（文））若实数，则的最小值为（）A．14B．C．29D．【答案】B【分析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：，即，当且仅当，，时等号成立.故选：B.【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不

4、等式的应用能力.6．（2021·全国高三专题练习）《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接.作交于.则下列不等式可以表示的是()A．B．C．D．【答案】A【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.【详解】连接DB，因为AB是圆O的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故选A.【点睛】本题考查

5、圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题.7．（2018·全国高二课时练习）对于x∈，关于x的不等式＋≥16恒成立，则正数p的取值范围为(　　)A．(－∞，－9]B．(－9,9]C．(－∞，9]D．[9，＋∞)【答案】D【解析】【分析】+=（+）（sin2x+cos2x），展开利用基本不等式求出其最小值，让最小值大于等于16得到关于p的不等式，求出解集即可．【详解】令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.∵x∈，∴t∈(0,1)．关于x的不等式＋≥16可化为p≥(1－t)．令y＝(1－t)，则y＝17－≤17－2＝9，当且仅当＝16t，即t

6、＝时取等号，因此，原不等式恒成立，只需p≥9.答案：D【点睛】此题是函数恒成立的问题，并考查利用基本不等式求出其最小值的方法，利用“1”的代换是关键．8．（2020·河南安阳市·林州市林虑中学高二月考（文））已知，，则的最大值是(  )A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】利用柯西不等式求解.【详解】，当且仅当时取等号.∴的最大值是故选：A【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.9．（2020·广州大学附属中学高三一模（理））“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从

7、历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（　　）A．B．C．D．【答案】A【分析】将代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案。【详解】由柯西不等式可知：所以，当且仅当即x＝时取等

8、号，故函数的最大值及取得最大值时的值分别为，故选：A．【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计