均值不等式与柯西不等式专项训练

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1、—・均值不等式常用类型1.(1)若a,beR,则a24-/?2>2ab2.⑴若a.be则凹2均值不等式应用（2）若a,bwR,则恥”（当且仅当a=b时取“二”）2⑵若a,beR则d+b»2J亦（当且仅当a=b时取“二”）（当且仅当a=b时取“二”）⑶若gbwR,则ab<3•若兀>0,则x+->2（当且仅当兀=1时取“=”）;若xvO,则x+-<-2（当且仅当x=-l时取“=”）兀若"0,则X+丄A2即兀+->2^x+-<-2（当且仅当Ci=b时取“二”）XXX3.若ab>Of则^+->2（当且仅当ci=h时取“二”）ba若ab^O,则-+->2即纟+或纟+°「2（当且仅

2、当a=b吋取“二”）bababa4.若a,bwR,贝ij（£±^）2<£l±^i（当且仅当a=h时取“二”）22注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”（3）均值定理可以用来求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题。二.应用（―）求最值1.直接应用例.求函数的值域.2.应用技巧一：凑项例•已知XV丄，求函数）,=4兀_2+—^的最大值。4'4.V-53.应用技巧二：凑系数例.当Ovx<4时，求y=x（S-2x）的最

3、大值。4.技巧三：分离例.求尸宀7无+%>_］）的值域。兀+15.技巧四：亦可使用换元6.技巧五：注意：在应用最值定理求最值吋，若遇等号取不到的情况，应结合函数/（x）=x+-的%24-5单调性。例：求函数y二I_的值域。1.条件求最值(1).若实数满足a+b=2,则3"+3"的最小值是・11(2).若log4x+logqy=2,求一+—的最小值•并求x,y的值%y(3).己知日〉0,力>0,日力一(日+Z?)=1,求日+力的最小值。(4)・己知x,y为正实数，3x+2y=10,求函数+yf2y的最值.(二)利用均值不等式证明不等式1.已知a,b,c为两两不相等的实数，求

4、证：a2+b2+c2>ab+be+ca2正数曰，b,c满足a+/?+c=1,求证：(1—曰)(1—Z?)(1—q)N8臼比(三)均值不等式与恒成立问题19例：己知x>O,y>0且一+—=1,求使不等式x+y>mtH成立的实数加的取值范围。(四)均值定理在比较大小屮的应用：例：若G>b>1,P=JigG•lgb,Q二丄(lgG+lgb),二lg(^^),贝'JP.Q.R的大小关系是.三.课后检测1.求函数y=x+~的值域。2•设0v兀<丄，求函数y=4x(3-2%)的最大值。23.己知0VXV1,求函数y=J班1-劝的最大值.194.己知x>0,y>0,且一+—=1,求x+

5、y的最小值。兀y5.若A：,yGR+且2x+y=l,丄+丄的最小值6.已知且纟+2=i，兀+y的最小值兀y7.已知”，y为正实数，且才=1,求刊1+y'的最大值.8.己知日，力为正实数，2/?+日力+日=30,求函数y=+的最小值.ab(VIVI、9.已矢口8、b、c€R+,且d+/?+C=l。求证：111>8I。丿(b丿I。>10.求函数丁=】2x-+V5-2x(—(ac+bd)2(a,b,c,dwR,当且仅当ad=be时，等号成立・)二、二维形式的柯西不等式的变式(l)Jd，+戻

6、•Jc?+d?nac+bdc.deR,当且仅当ad=be时,等号成立.)⑵y/a2+b~-a/c2+J2>ac+bd(a,b,c,dgR,当且仅当ad=be时,等号成立)(3)(a+b)(c+〃)>(y[ac+4bd)2(a,b,c,d>0,当且仅当=be时，等号成立.)三、二维形式的柯西不等式的向量形式■・•■・•・•»・•a/i

7、2+cA2)就可以用柯西不等式了。基本方法(1)巧拆常数：?22Q例1：设d、b、c为正数且各不相等。求证：丄」++一-—a+bb+cc+ad+b+c(2)重新安排某些项的次序：例2：a、b为非负数，a+b=,x1?x2gR+求证：(俶]+/?£)(加】+做2)»兀】兀2(3)改变结构：114例3.若a>b>c求证：F>a-bb-ca-c(4)添项：例4：a,b,cwF求证：++>-b+cc+aa+b2检测题【1】、设a=(-2,1,2),

8、^

9、=6,则&•方之最小值为；此时门。[2]设0=(1,0,-2),b=(x,y,z