矩阵与柯西不等式

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1、矩阵与柯西不等式/林磊矩阵与柯西不等式华东师范大学数学系林磊一、教学目的利用TI-92计算器，探讨运用矩阵来证明以及设计一类重要的不等式。二、柯西不等式在中学里，我们就熟悉了如下的一个不等式：222222

2、xyxyxy

3、xxxyyy，（*）1122nn12n12n其中，x,x,,x，y,y,,y为任何实数。且等号成立当且仅当向量(x,x,,x)12n12n12n与(y,y,,y)成比例。这就是著名的柯西不等式。12n如果我们将不等式（*）用内积的形式来表示，则可将它改写成

4、(,

5、)

6、

7、

8、

9、

10、此处，(,)xyxy表示与的标准内积（或点积），而

11、

12、(,)即为向11nn量的长度。上述不等式是柯西不等式的一般形式（且此处的内积可以是任意确定的内积，不必局限于标准内积）。三、正定矩阵我们将mn个数排成一个m行n列的数表aaa11121na21a22a2nAaaan1n2nn称为一个m行n列的矩阵。如果mn，则称A为n阶方阵。如果一个n阶方阵A中的每个数都是实数，并且对于所有的1i,jn，A的(i,j)位置上的数与(j,i

13、)位置上的数均相等，则称A为（n阶实）对称矩阵。对于任何一个实对称矩阵A，我们都可以定义一个n元的二次函数f(x1,x2,,xn)：f(x1,x2,,xn)aijxixji,j1称为由A所定义的二次型。–1–矩阵与柯西不等式/林磊例如：如果23A，35则由A所定义的二次型为22f(x,x)2xx3xx3xx5xx2x6xx5x。12111221221122如果f(x,x,,x)是由对称矩阵A所定义的二次型。并且，对所有的实数12nc,c,,c，有f(c,c,,c)0，

14、而且等号成立当且仅当ccc0，则称A为12n12n12n正定矩阵。例如，取矩阵10A，01则它所定义的二次型22f(x,x)xx。1212显然f(c,c)0且f(c,c)0当且仅当cc0。所以A是正定矩阵。121212又如，取23A，3222则f(x,x)2x6xx2x。由于f(1,1)2620，所以A不是正定矩阵。121122那么对于一个实对称矩阵，我们如何来判别它是否为正定矩阵？我们可以通过在TI-92计算器中编制一个程序来加以判定。至于判定一

15、个实对称矩阵是否为正定矩阵的根据，这就要用到线性代数的相关知识了，在此我们不作介绍。四、柯西不等式与正定矩阵的关系柯西不等式与正定矩阵之间有什么关系呢？设A(a)是一个n阶正定矩阵，则对任ij何向量(x,x,,x)与(y,y,,y)，定义12n12n(,)aijxiyj（**）i,j1则可以证明由（**）式定义的一定是n维向量间的内积。反之，对于n维向量间的任意一种内积，一定存在一个n阶正定矩阵A(a)，使得对任何向量和，(,)可由（**）ij式来定义。因此，给定了一个n阶正定矩阵，在n

16、维向量间就可由该矩阵定义一个内积，从而可得到相应的柯西不等式：nnnaijxiyjaijxixjaijyiyj。i,j1i,j1i,j1–2–矩阵与柯西不等式/林磊五、具体例子例1．证明不等式

17、2(xyxyxy)xyxyxyxy

18、112233122321322222222xxxxxxxyyyyyyy12312231231223对所有实数x,x,x和y,y,y均成立。123123证明：从不等式来看，可知它相当于

19、(,)

20、

21、

22、

23、

24、，其中(,)是由矩阵210

25、A121012所定义的。但要证明(,)是内积还需证明A是个正定矩阵。为此，我们利用TI-92计算器来判定这一点。首先，在计算器中输入矩阵A（如图1）。然后，我们执行一个名为zdjz（即正定矩阵的拼音缩写）的程序（该程序预先已编制好），并输入矩阵A。从程序中得知，该矩阵为正定矩阵（见图2）。从而可看出该不等式就是由A所确定的内积所产生的柯西不等式，因此不等式成立。图1图2注：上述不等式可以推广为nn12xiyi(xiyi1xi1yi)i1i1nn1nn1222xixix

26、i1yiyiyi1，i1i1i1i1其中n1是正整数，而x,x,,x，y,y,,y是任意实数。12n12n例2．试利用矩阵311A131113给出一个对应的柯西不等式。解：我们首先来确定A是否为正定矩阵。为此，执行一下程序zdjz，得出A是正定的（见图3）。因此由A可定义