2020-2021学年高二数学（理）下学期期中专项复习06 绝对值不等式、基本不等式与柯西不等式.doc

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1、专题06绝对值不等式、基本不等式与柯西不等式2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版）一、基本不等式：≤1.基本不等式：≤(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1

2、)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).（3）基本不等式的变式ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)二、绝对值不等式及其应用1.含绝对值不等式的解法方法解读适合题型1公式法利用公式

3、x

4、0)和

5、x

6、>a⇔x>a或x<-a(a>0)直接求解不等式

7、f(x)

8、>g(x)或

9、f(x)

10、

11、f(x)

12、≥

13、g(x)

14、⇔

15、f2(x)≥g2(x)3零点分段法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解

16、f(x)

17、±

18、g(x)

19、≥a，

20、f(x)

21、±

22、g(x)

23、≤a4几何法利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解

24、x±a

25、±

26、x±b

27、≤c，

28、x±a

29、±

30、x±b

31、≥c5图象法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数如

32、f(x)

33、+

34、g(x)

35、≥a可构造y=

36、f(x)

37、+

38、g(x)

39、-a或y=

40、f(x)

41、+

42、

43、g(x)

44、与y=a2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则

45、a＋b

46、≤

47、a

48、＋

49、b

50、，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)

51、a

52、－

53、b

54、≤

55、a±b

56、≤

57、a

58、＋

59、b

60、；(3)如果a，b，c是实数，那么

61、a－c

62、≤

63、a－b

64、＋

65、b－c

66、，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.注意：利用绝对值三角不等式定理

67、a

68、－

69、b

70、≤

71、a±b

72、≤

73、a

74、＋

75、b

76、求函数最值，要注意其中等号成立的条件.3.含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律1．根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.2．巧用“

77、

78、

79、a

80、-

81、b

82、

83、≤

84、a±b

85、≤

86、a

87、+

88、b

89、”求最值.(1)求

90、a

91、-

92、b

93、的范围:若a±b为常数M,可利用

94、

95、a

96、-

97、b

98、

99、≤

100、a±b

101、⇔-

102、M

103、≤

104、a

105、-

106、b

107、≤

108、M

109、确定范围.(2)求

110、a

111、+

112、b

113、的最小值:若a±b为常数M,可利用

114、a

115、+

116、b

117、≥

118、a±b

119、=

120、M

121、,从而确定其最小值.3．f(x)a恒成立⇔f(x)min>a.三、柯西不等式定理1柯西不等式：若a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．探究（1）已知，，求证：1

122、．分析：直接使用柯西不等式证明．设计意图：熟悉柯西不等式的结构特征及简单应用.（2）设在平面直角坐标系中有向量，

123、α

124、

125、β

126、与

127、α·β

128、的大小关系如何.设计意图：找到柯西不等式的几何意义.定理2柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则

129、α

130、

131、β

132、≥

133、α·β

134、，当且仅当α和β共线(平行)时，等号成立.探究：设，求证：≥，等号当且仅当ad＝bc时成立．定理3三角形不等式：设x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，那么＋≥.探究：柯西不等式能否推广到n个元素的一般形式．定理4柯西不等式的一般形式：设n为大于1的自然数，（）为实

135、数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，等号当且仅当时成立（当时，约定，）.