最新数学史课件第四章-方程求解与代数符号化教学讲义PPT课件.ppt

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1、数学史课件第四章-方程求解与代数符号化古巴比伦人还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法，这些解法则记录在一些数表上。图4。1普林顿第322号泥版——勾股数表4.1.2《九章算术》的“方程术”《九章算术》中的“方程章”，是世界上最早的系统研究代数方程的专门论著。它在世界数学历史上，最早创立了多元一次方程组的筹式表示方法，以及它的多种求解方法。《九章算术》把这些线性方程组的解法称为“方程术”，其实质相当于现今的矩阵变形方法。方程术是通过对方程的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即连续相减）实现减元、获取方程解的过程。4.1.4几何方法解方程开平方口诀（“开平方不用

2、慌，20倍前商加后商”）的几何推导方法图4.4面积法开平方由于面积55225值是一个万位数，可以估计出它的边長是个三位数，令其边长是三位数。(100a+10b+c)2=55225.为此，先估计a=2，如图4.4，于是在AB上截取AE=200,以A为一边做正放形AEFG,从正方形ABCD中减去它，得“曲尺形”EBCDGF的面积：55225—40000=15225。为估计b，用EF的2倍（定法）去试除这个余数，得b=3。在EB上截取EH=30，以AH为一边再作正方形AHIJ。从图上可知：矩形FH的面积=矩形FJ的面积=30×EF=300×200.正方形的FI的

3、面积=302。因此，从正方形ABCD减去正方形AHIJ所余的更细的“曲尺形”的面积为15225—（2×30×200+302）=2325。最后估计个位数，用HI＝230的2倍去试除这个余数，得c＝5。在HB上截取HK＝5,再以AK为一边做正方形AKLM，从正方形ABCD减去它，得2325—（2×5×230+52）=0。即K与B重合，AB之长恰好为235，此即所求的平方根：2352=55225。古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程一次方程ax=b，x是a、b、1的第四比例项：a∶b=1∶x，因而可以用尺规作图的方法求得x图4.5解方程x2－px+q2=0的几何

4、方法假如r和s表示二次方程x2－px+q2=0的两个根，其中p和q是正整数，且q≤p/2（这后一个条件，保证r和s都为正数）。用几何方法求解这个方程的根，就等价于由给定线段P和q求出线段r和s。用现代数学中的韦达定理可知r+s=p，rs=q2。于是相应的几何方法可以是：作一个正方形，使它的面积等于给定的正方形，而它的相邻两边的乘积等于给定的一个线段长。为此，可由图4.5得到上述的方程几何求解方法。1世纪的波斯数学家海牙姆（约1044~约1123）给出了三次方程的几何解法。这种方法是在使用直尺和圆规作图的前提下，再允许画某一特定的圆锥曲线，便可以解得三次方程

5、。4.2代数的符号化4.2.1丢番图的缩记符号丢番图将未知量称为“题中的数”，并用记号δ表示，相当于现在的x。未知量的平方记为△，“△”是希腊单字“△YNAMIE”(dynami，幂)的第一个字母。未知量的立方记为K，“K”是单词希腊单字“KYBOE”(cubos,立方)的第一个字母。未知量的四次方，丢番图用△△来表示，他称之为“平方平方”；五次方用△K表示，称为“平方立方”；六次方用KK表示，称为“立方立方”，以此类推。他还用一些符号表示分数，例如，他用s表示，减号很像V的倒置，再加上这个角的平行线。在一个表达式中，L表示等号，加法他是用并列来表示的，而

6、乘法和除法则通过累加累减去进行。在他的符号系统中，没有加法、乘法和除法的运算记号。所有的负项集中到一起，前面写一个减号。任何未知数之幂的数字系数用相应的希腊字母来表示，写在表示这个幂的符号之后。如果存在常数项，则用来表示，“”是希腊文中“monads”（MONA△E∑，意为“单位”）一词的缩写。4.2.2花拉子米的“代数学”“代数学”（algebra）这个词来源于花拉子米所著的一本书。原意是“还原”，专指把负项移到方程另一边使之变成正项的方法。花拉子米的还原和对消运算分别对应于现在方程的移项和合并同类相运算。其中的配方法，给出了解一元二次方程的公式，并得到

7、了二次方程的两个根。尽管这些方法在花拉子米的著作中是用实际问题的解法被纪录下来的，但它们具有求解方程的一般方法的意义在花拉子米系统地研究了六种类型的一次和二次方程及其解法，ax2=bx，ax2=c，ax=c，ax2+cx=c，ax2+c=bx，bx+c=ax2对于前三种类型方程，花拉子米把方程ax2=bx看作线性方程，抛弃了零根，对于后三种类型方程，花拉子米的解法相当于现在的配方法。花拉子米首先叙述了用根号表示方程根的法则，然后给出它的几何证明。花拉子米实际上已经给出了首项系数为1的一元二次方程的求根公式。4.2.3印度的代数学从公元5世纪到12世纪，印度

8、数学对世界数学的影响较大的有两个方面。最先制定了现在世界上通用的数