方程求解与代数符号化.ppt

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1、1第四章方程求解与代数符号化方程求解问题的研究是代数学产生的重要源泉。代数学的基本方法：用符号表示研究对象以及这些对象间的关系。代数学发展的历史，就是代数学符号化的历史：文字表示、缩记代数、符号代数学24.1早期的方程求解方法4.1.1配方法与数表法古巴比伦的第13901号泥版，记述了这样一个问题：“把正方形的面积加上正方形边长的三分之二得35/60①，求该正方形的边长。”图4.1普林顿322号泥版这个问题相当于求解方程x2+（2/3）x=35/60。古巴比伦人的解法则相当于将方程x2+px=q的系数代入公式3古巴比伦人还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法，这些解法则记录在一

2、些数表上。图4。1普林顿第322号泥版——勾股数表44.1.2《九章算术》的“方程术”《九章算术》中的“方程章”，是世界上最早的系统研究代数方程的专门论著。它在世界数学历史上，最早创立了多元一次方程组的筹式表示方法，以及它的多种求解方法。《九章算术》把这些线性方程组的解法称为“方程术”，其实质相当于现今的矩阵变形方法。方程术是通过对方程的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即连续相减）实现减元、获取方程解的过程。5在“方程章”问题的解法中还可以发现下述方程变形的性质：如果方程的两边都加上（或减去）同一数，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程两边同乘以（或除以）一个不等于零的数，

3、那么所得的方程和原方程是同解方程。刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”法。64.1.3开方法解方程中国古代把解二次方程x2+bx=c的方法称作“带从开方”；把解三次方程x3+bx2+cx=d的方法称作“带从开立方”。北宋数学家刘益（公元11~12世纪人）使用“增乘开方法”求解一元高次方程。7如，使用“增乘开方法”解－x2+60x=864.列三行横式－160864补零（前移一位，－100600864（2说明商为二位数），首商得2，增乘一次－200－800—10040064－200再增乘一次，－

4、10020064去零（后移一位），－12064（4次商得4，增乘一次4_－64－1160恰好减尽。故得方程根x=24。84.1.4几何方法解方程开平方口诀（“开平方不用慌，20倍前商加后商”）的几何推导方法9图4.4面积法开平方由于面积55225值是一个万位数，可以估计出它的边長是个三位数，令其边长是三位数。(100a+10b+c)2=55225.为此，先估计a=2，如图4.4，于是在AB上截取AE=200,以A为一边做正放形AEFG,从正方形ABCD中减去它，得“曲尺形”EBCDGF的面积：55225—40000=15225。为估计b，用EF的2倍（定法）去试除这个余数，得b

5、=3。在EB上截取EH=30，以AH为一边再作正方形AHIJ。从图上可知：矩形FH的面积=矩形FJ的面积=30×EF=300×200.正方形的FI的面积=302。因此，从正方形ABCD减去正方形AHIJ所余的更细的“曲尺形”的面积为15225—（2×30×200+302）=2325。最后估计个位数，用HI＝230的2倍去试除这个余数，得c＝5。在HB上截取HK＝5,再以AK为一边做正方形AKLM，从正方形ABCD减去它，得2325—（2×5×230+52）=0。即K与B重合，AB之长恰好为235，此即所求的平方根：2352=55225。10古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程一

6、次方程ax=b，x是a、b、1的第四比例项：a∶b=1∶x，因而可以用尺规作图的方法求得x图4.5解方程x2－px+q2=0的几何方法假如r和s表示二次方程x2－px+q2=0的两个根，其中p和q是正整数，且q≤p/2（这后一个条件，保证r和s都为正数）。用几何方法求解这个方程的根，就等价于由给定线段P和q求出线段r和s。用现代数学中的韦达定理可知r+s=p，rs=q2。于是相应的几何方法可以是：作一个正方形，使它的面积等于给定的正方形，而它的相邻两边的乘积等于给定的一个线段长。为此，可由图4.5得到上述的方程几何求解方法。111世纪的波斯数学家海牙姆（约1044~约1123）

7、给出了三次方程的几何解法。这种方法是在使用直尺和圆规作图的前提下，再允许画某一特定的圆锥曲线，便可以解得三次方程。124.2代数的符号化4.2.1丢番图的缩记符号13丢番图将未知量称为“题中的数”，并用记号δ表示，相当于现在的x。未知量的平方记为△，“△”是希腊单字“△YNAMIE”(dynami，幂)的第一个字母。未知量的立方记为K，“K”是单词希腊单字“KYBOE”(cubos,立方)的第一个字母。未知量的四次方，丢番图用△△来表示，他称之为“平方平方”；五次方用△K表示，称为“平方立方