代数方程和常微分方程求解

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1、第8章代数方程和常微分方程求解代数方程是未知数和常数进行有限次代数运算所组成的方程，它包括有理方程和无理方程。代数方程的解称为的根或零点，其求解一般是通过代数几何来进行。微分方程是含有一个或是多个导数的方程。只有一个自变量及其导数的微分方程称为常微分方程；包含两个以上自变量及其偏导数的微分方程称为偏微分方程。工程上许多物理规律，设计过程的模拟和评价，凡是涉及质量和能量运动设计分析的问题，都最终归结到微分方程。8.1代数方程求解8.1.1代数方程图解法符号绘图函数fplot()和ezplot()也可以用于图解法求代数方程的根，它适用于求解维数较少的一

2、维方程或二维方程组。对于一维方程图解，其解就是函数曲线与x轴交点所对应的变量数值。如果有多个交点，则表示该方程有多个解；如果没有交点，则表示该方程没有解。例如，在例5-3使用符号绘图函数绘制代数方程的图形（图5-3左图）中可见，函数在区间[-5,5]内与x轴有3个交点，因此该代数方程该区间内有3个实根。对于二维方程组图解，其解就是两条函数曲线的交点所对应的坐标数值。如果只有1个交点（或切点），则表示该方程组有1个解；如果有2个交点，则表示该方程组有2个解；如果没有交点，则表示该方程没有解。例8-1用图解法求解二维联立方程。a=-2;b=2;%定义横

3、轴区间ezplot('x^2+y^2-1.69',[a,b]);axis'equal';%控制坐标轴比例相等holdon;gridon;ezplot('2.4*x^3-y+1.5',[a,b]);line([a,b],[0,0]);line([0,0],[b,a]);xlabel('bfx');ylabel('bfy');title('bf二维代数方程组的图解法')gtext('bff_1=x^2+y^2-1.3^2');gtext('bff_2=2.4x^3-y+1.5');8.1.2代数方程的解析解求非线性方程或方程组解析解的函数调用

4、格式：X=solve(fun,x)其中，fun是符号方程的函数表达式，x是自变量，X是解析解。应当指出，函数solve(fun,x)也可以用于求线性方组的解析解。例8-2求非线性解方程组解析解%二维非线性方程组的解析解symsabxy;f1='x^2-x*y-a';f2='y^2-x*y+b';disp('二维非线性方程组的解析解：')[X,Y]=solve(f1,f2,'x,y')M文件运行结果：二维非线性方程组的解析解：x=a/(a-b)^(1/2)-a/(a-b)^(1/2)Y=1/(a-b)^(1/2)*b-1/(a-b)^(1/2)*b8

5、.1.3线性方程组的数值解最简便方法是使用矩阵左除或是矩阵求逆的方法，求解线性方程组AX=b。X=AbX=inv(A)*b其中，A是方程组的系数矩阵，b是常数向量，X是解析解。例8-3求线性方程组的数值解%线性方程组的数值解AA=[1,1,1,1;1,2,-1,4;2,-3,-1,-5;3,1,2,11];bb=[5;-2;-2;0];%线性方程组常数向量disp('采用矩阵左除求出线性方程组的解：')xx=AAbbdisp('采用矩阵求逆求出线性方程组的解：')zx=inv(AA)*bbdisp('计算残量：')r=AA*zx-bbdisp(

6、'计算残量的模：')R=norm(r)M文件运行结果：采用矩阵左除或矩阵求逆求出线性方程组的解：xx(zx)=1.00002.00003.0000-1.0000计算残量：r=1.0e-014*0.08880.2220-0.44410.1776计算残量的模：R=5.3475e-0158.1.4非线性方程的数值解1、一维非线性方程对于一维非线性方程求解，可以看作是单变量的极小化问题，通过不断缩小搜索区间来逼近一维问题的真解。因此，可以使用一维非线性方程优化解函数来求解。其调用格式是：[x,fx,flag]=fzero(fun,x0)其中，输入参数中：f

7、un是非线性方程的函数表达式；x0是根的初值；输出参数中：x是非线性方程的数值解；fx是数值解的函数值；返回参数flag>0时，表示求解成功，否则求解出现问题。函数fzero所使用的算法为二分法、secant法和逆二次插值法的组合。例8-4求解一维非线性方程%求解单变量x非线性方程x0=0.1;%解的初值[xz,fz,flag]=fzero('atan(x)+exp(x)',x0);disp('求解成功性判断参数：'),flagdisp('非线性方程的解：'),xzdisp('非线性方程解的函数值：'),fzM文件运行结果：求解成功性判断参数：fl

8、ag=1非线性方程的解：xz=-0.6066非线性方程解的函数值：fz=-1.1102e-0162、多维非线性方程组对于多