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1、精品文档换元法的常见形式在数学解题过程中，根据已知条件的特征，引入新的变量，对题目进行转化，形成一个用新变量表达的问题，通过解决新问题，来达到解决原问题的目的，这种解题方法叫做换元法。换元法的形式很多，但它们有一个共同特点，改变问题的结构形成新问题，为解决问题提供可能性，它是数学中转化和化归思想的一个重要体现。下面举例说明换元法的常见形式的应用。一、三角换元例1已知a2b24，x2y29，求axby的最大值。解由a2b24，可设a2cos,b2sin；由x2y29，可设x3cos,y3sin.于是axby6coscos6sinsin6cos()6又当2k(kZ)时
2、，上式中等号成立。即axby的最大值是6.一般地，题目中若有条件a2b2r2(r0)，常设arcos,brsin进行三角换元，将问题改变成一个三角函数有关的问题，再利用三角函数知识、方法进行解答，此方法称为三角换元。事实上，对于任意两个实数x,y，在坐标平面上总有惟一的对应点A(x,y)与之对应，设此点到原点的距离为r，射线Ox逆时针方向旋转到射线OA时，所转过的最小正角为，则xrcos,ysin。例2实数x,y满足4x25xy4y25，设Sx2y2，求S的最大值和最小值。解设xrcos,ysin，则4r25r2cossin5，r25sin51045cos所以Sx
3、2y2r2sin45cos85sin2所以当sin21时，Smax101时，Smin10.；当sin2313二、增量换元若题目的已知中有形如ab的条件，则可考虑设abt,t0，将问题进行转化。此法称为增量换元，也叫设差换元。它的作用是将不等条件转化为相等条件，使得式子方便地进行运算变形。例3已知x,y,z(0,1)，且xyz2.求证xyyzxz1证明由x,y,z(0,1),存在,,(0,1),且x1,y1,z1。1欢迎下载精品文档由xyz2，得(1)(1)(1)2，即1xyyzxz(1)(1)(1)(1)(1)(1)32()()1()1xyyzxz1三、分母换元将
4、分式的分母看成整体，用新的变量代替，从而可以较方便地进行分式的变形，达到解决问题的目的，不妨称之为分母换元。例4已知x,y,z是正数，求证xyz3yzxzxy2证明设ayz,bxz,cxy，则xbca,yacb,zabc.222所以xyzbcaacbabcyzxzxy2a2b2c(baca(bc)3ba2ca2bc3)()2c222b2c2b22a2b2a2c2b2a2a2c2ba2ca2bc332a2b2a2c2b222c例5已知a1,b1,c1.求证：a2b2c212.b1c1a1证明：由a1,b1,c1，可设a－1＝x,b－1＝y,c－1＝z,x0,y0,z
5、0.于是222222222ac(1x)(1(1(2y)(2zby)z)x)(2)b1c1a1yzxyzx4(xy＋z)43xyz12yzxyzx四、根式换元对于根式用一个变量将其代替，即可把无理式问题转化为有理式问题，实现问题的转化，称之为根式换元。例6求函数P4x3x的值域。解设a4x,bx，则a2b24，a0，b0.在平面直角坐标系xoy中，点M(a,b是)圆弧。2欢迎下载精品文档x2y24(x0,y0)上的点，如图所示。a3b，所以P表示点M(a,b)到直线l0:x3y0的距离的2倍。Pa3b22过点M(a,b)作直线l0:x3y0的平行线l，则P表示直线l
6、0与l的距离的2倍。设平行直线l0与l的距离为d.则当l过点A时（直线l1），d取最小值1，此时P2；当l与圆弧相切时（直线l2），d取最大值2，此时P4.所以函数P4x3x的值域为[2,4].此题通过做a4x,bx的代换，问题转化为两直线距离问题，简明直观。当然由a2b24，a0，b0可设a2cos,b2sin,0则是三角换元，也2可以解决问题。五、式子的部分代换将式子的一部分视为一个整体，用一个变量代替，将问题进行转化，达到解决问题的目的。不妨称之为式子的部分代换。它是上面根式换元的推广。例7已知a0,b0,c0，并且1111.求证abc22.a21b21c2
7、11110x1,0y1,0z1证明：设x1a2,y1b2,z1c2，则并且111.又1111，所以a1,b1,cxz11a21b21c2yxyz1.所以a111xyz,同理bxz,cyx.xxxyzabcyzxzyx(yz)(xz)(xy)2yz2xz2xy22xyzxyzxyz本例中，通过换元，使得复杂的已知条件三个分式的和为1，转化为看起来较简单的条件xyz1，便于将其应用于要证的结论，从而解决问题。六、和差代换对于任意两个实数x,y，总存在实数a,b使得xab,yab。这就是和差代换，利用它常可独辟溪径、简化问题。例8实数x,y满足x22xyy23x3y12
8、0，求xy
