换元法的常见形式

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1、换元法的常见形式在数学解题过程中，根据已知条件的特征，引入新的变量，对题目进行转化，形成一个用新变量表达的问题，通过解决新问题，来达到解决原问题的目的，这种解题方法叫做换元法。换元法的形式很多，但它们有一个共同特点，改变问题的结构形成新问题，为解决问题提供可能性，它是数学中转化和化归思想的一个重要体现。下面举例说明换元法的常见形式的应用。一、三角换元例1　已知，，求的最大值。解　由，可设；由，可设.于是又当时，上式中等号成立。即的最大值是6.一般地，题目中若有条件，常设进行三角换元，将问题改变成一个三角函数有关的问题，再利用三角函

2、数知识、方法进行解答，此方法称为三角换元。事实上，对于任意两个实数，在坐标平面上总有惟一的对应点与之对应，设此点到原点的距离为，射线逆时针方向旋转到射线OA时，所转过的最小正角为，则。例2　实数满足，设，求的最大值和最小值。解　设，则，所以所以当时，；当时，.二、增量换元若题目的已知中有形如的条件，则可考虑设，将问题进行转化。此法称为增量换元，也叫设差换元。它的作用是将不等条件转化为相等条件，使得式子方便地进行运算变形。例3　已知，且.　精选范本,供参考！三、分母换元将分式的分母看成整体，用新的变量代替，从而可以较方便地进行分式的

3、变形，达到解决问题的目的，不妨称之为分母换元。例4　已知是正数，求证证明　设，则.所以例5　已知.　求证：.证明：由，可设.于是四、根式换元对于根式用一个变量将其代替，即可把无理式问题转化为有理式问题，实现问题的转化，称之为根式换元。例6　求函数的值域。解　设，则，，.在平面直角坐标系中，点是圆弧精选范本,供参考！上的点，如图所示。，所以P表示点到直线的距离的2倍。过点作直线的平行线，则P表示直线与的距离的2倍。设平行直线与的距离为.则当过点A时（直线），取最小值1，此时；当与圆弧相切时（直线），取最大值2，此时.　所以函数的值域

4、为.此题通过做的代换，问题转化为两直线距离问题，简明直观。当然由，，可设则是三角换元，也可以解决问题。五、式子的部分代换将式子的一部分视为一个整体，用一个变量代替，将问题进行转化，达到解决问题的目的。不妨称之为式子的部分代换。它是上面根式换元的推广。例7　已知，并且.　求证.证明：设，则并且.又，所以.所以同理.本例中，通过换元，使得复杂的已知条件三个分式的和为1，转化为看起来较简单的条件，便于将其应用于要证的结论，从而解决问题。六、和差代换对于任意两个实数，总存在实数使得。这就是和差代换，利用它常可独辟溪径、简化问题。例8　实数

5、满足，求的最小值。精选范本,供参考！分析：注意到已知条件整理成，设，则，.所以.所以当时，取最小值12.同学们在解题实践中，不断地积累经验，探索规律，就能达到根据问题的特点，熟练进行换元转化，实现化繁为简。下面是一组用可以换元法解答的题目，请同学们试一试。1.实数满足，求的最小值；2.实数满足，比较与大小；3.求函数的值域；4.设是三角形的三边，求证：；5.已知实数满足，求的最小值.【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】精选范本,供参考！