浅析换元法的应用

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1、贵池区参评论文浅析换元法的应用池州六中摘要：在高中数学中，换元法是一种比较常见却非常实用的方法，正确又灵活的运用换元法，不仅可以将数学的各个方面充分的联系到一起对数学问题进行转化，还可以发掘学生的创造思维能力，培养学生对数学的兴趣，因此，本文就换元法在三角、方程、函数、不等式等方面的应用进行简单的分析与研究。关键词:高中数学、换元法、应用、数学思维1.引言有一些数学问题，由于条件和结论中的变量关系在形式上的隐蔽性，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形势上发现，即使看出它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解。但当我们进行适量的变量代换时，把问题的条件和结论作

2、形式上的转换，这样就容易揭示出它们内在的联系，把问题化难为易，化繁为简。因此换元被认为是中学数学中最常用的一种思想方法，掌握了换元思想，不但可以比较顺利的解决一些较难的问题，还可以用多种方法解答同一个问题，提高我们的思维能力。2.换元法的概念在解数学题时，我们把一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这就是换元法，换元法的实质就是转化，关键是构造变量和设变量；换元的理论依据是等量代换；换元的目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准问题标准化、复杂问题简单化，从而使问题易于求解。1.换元法的方法与特点换元法的方法有三角换

3、元、局部换元、均值换元等，它可以化高次为低次、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究三角、方程、函数、数列、不等式等问题中有重要的作用。2.常见的换元方法与技巧4.1.1整体换元在三角函数求值中的妙用由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值是三角函数求值中的一个常见题型，解决这类问题的关键在于寻找未知角与已知角之间的关系，但对于一些复杂的问题，部分学生直接寻找关系较为困难，即使找到在解题过程中还是会碰壁，但使用换元的思想方法却可以避免这些问题的困扰。例1设为锐角，若，则的值为.解法1：又注解：在本题中首先运用上述方法讲解，但是有些学生对这个已知角不能整

4、体看待，找不到与之间的关系，针对这一情况，联想到代数中换元的思想方法可以将解题过程转换为下面的解法，学生在理解时就容易多了。解法2设，则，且由，知，故；例2已知，则的值为.解：设，则，且例3已知为锐角，，则.解设，则，且由，知，又由，知，；结论：在解决三角函数求值时，我们教师往往一味地强调角的整体思想在解题中的重要作用，但学生在解题是整体意识不到位，不能灵活运用整体思想思考问题，如果用换元的思想将已知角整体换掉，将问题转换为另一个角的三角函数求值问题，则可简捷求解。4.1.2三角换元的其他应用高中数学好多问题如果能联系上三角变换，常常能出奇制胜，使问题顺利获得解决，是

5、用三角变换关键要注意相关的数学问题结构类型及三角换元的方法。一、见，可设例1已知，求的最大值解，可设，则，二、见，可设例2已知点P在椭圆上，求：（1）点P到直线的距离的最大值；（2）求的取值范围.解：设P，点P到直线的距离为（2），，，，解得或一、见时，可设；见时，可设例3已知且，求证：证明：因为，故考虑用“三角换元法”设，则，，是减函数，；同理四、利用平方关系等换元含的方程可设或；含的方程可设或；含的方程可设为例4解方程分析：平方后是4次方程，解法很复杂的，故考虑三角换元法。解，设，则（为锐角），原方程变形为：平方得，即，解得或（舍去），.再联立，解得或，或.五、见

6、联想到，见联想到结论：总之，利用三角换元法可以把不熟悉的问题转化为熟悉的三角函数问题，利用正弦函数、余弦函数的有界性，很快求得值域，注意换元时不能改变自变量的取值范围，因此要注意所设的角的范围。4.2换元法在方程中的应用换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。一、单个换元：主要是根据方程的特点进行换元，换元后一般只留下单个未知数。例1.解方程。分析：方程的分母都含有故可设，然后整理可得，解得中，求出方程的解，并检验。例2.解方程。分析：方程变形为，即，方程可通过互为倒数关系换元：设，

7、然后整理得，可解得，代入，求方程的解，并检验。二、部分换元：部分换元之后，一般方程还剩下两个未知数例3.解方程分析：方程变形：，方程可进行部分换元：设，方程整理可得，可解得，再代入，求出方程的解并检验。例4.解方程。分析：，方程整理可得，解得，再代入中，求出方程的解并检验。4.3换元法在线性规划中的妙用在二元规划问题中的两种基本类型斜率型和截距型的问题中，若能充分的把握住目标函数的结构特征，运用还元的思想，将问题转化为二元规划问题的一般形式，传统的解法就可大展身手，其解题过程不仅显得清晰明了，而且更具有可操作性，让人赏心悦目，值得尝试。一、运用换元法