高中数学数列知识点总结.docx

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1、1.等差数列的定义与性质定义：an1and（d为常数），ana1n1d等差中项：x，A，y成等差数列2Axya1annnn1d前n项和Snna122性质：an是等差数列（1）若mnpq，则amanapaq；（2）数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列，Sn，S2nSn，S3nS2n⋯⋯仍为等差数列，公差为n2d；（3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad（4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则amS2m1bmT2m1（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n

2、的常数项为0的二次函数）Sn的最值可求二次函数San2bn的最值；或者求出a中的正、负分界项，nn即：当a10，d0，解不等式组an0an1可得Sn达到最大值时的n值.0当a10，dan0可得Sn达到最小值时的n值.0，由0an1(6)项数为偶数2n的等差数列an，有S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1为中间两项)S偶S奇an.S奇nd，S偶an1（7）项数为奇数2n1的等差数列an，有S2n1(2n1)an(an为中间项)，S奇S偶an，S奇n.S偶n12.等比数列的定义与性质定义：an1

3、q（q为常数，q0），aaqn1.ann1等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy.na1(q1)前n项和：Sna11qn（要注意！）1(q1)q性质：an是等比数列（1）若mnpq，则am·anap·aq（2）Sn，S2nSn，S3nS2n⋯⋯仍为等比数列,公比为qn.注意：由Sn求an时应注意什么？n1时，a1S1；n2时，anSnSn1.3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列a，1a1a⋯⋯1a2n5，求ann212222nn（2）叠乘法如：数列an中，a1an1n，求an3，n1an（3）等差

4、型递推公式由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法an中，a11，an3n1an1n2，求an（an13n1［练习］数列2）（4）等比型递推公式ancan1d（c、d为常数，c0，c1，d0）可转化为等比数列，设anxcan1xancan1c1x令(c1)xd，∴xd，∴and是首项为a1d，c为公比的等比数列c1c1c1dd·n1，∴dn1d∴ana1ca1cc1c1ancc11（5）倒数法如：a1，an12an，求an1an2附：公式法、利用anS1(n1)SnSn1(n2)、累加法、累乘法.构造等差或等比an1

5、panq或an1panf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4.求数列前n项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：an是公差为d的等差数列，求n1k1akak1（2）错位相减法若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项和，可由SqS，求Sn，nn其中q为bn的公比.如：Sn12x3x24x3⋯⋯nxn1①x·Snx2x23x34x4⋯⋯n1xn1nxn②①—②1xSn1xx2⋯⋯xn1nxn1xnnnn1x1时，Snnx，x1时，

6、Sn1x2123⋯⋯n1x2（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.Sna1a2⋯⋯an1an相加2Sna1ana2an1⋯a1an⋯Snanan1⋯⋯a2a1［练习］已知f(x)x2，则x21f(1)f(2)f1f11f(3)f(4)f234(附：a.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研

7、究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。d.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中

8、，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。e.用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得