高中数学解析几何大题精选.docx

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1、解析几何大量精选1.在直角坐标系xOy中,点M到点F13,0,F23,0的距离之和是4,点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A,不过点A的直线l:ykxb与轨迹C交于不同的两点P和Q.⑴求轨迹C的方程;uuuruuur0时,求k与b的关系,并证明直线l过定点.⑴当APAQ【解析】⑴x2y21.4y⑴将ykxb代入曲线C的方程,P222整理得(14k8kbx40,)x4b因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q,AOx所以22224)221)0①Q64kb4(14k)(4b16(4kb8kb24设Px1,y1,

2、Qx2,y2,则x1x2,x1x24b②14k214k2且y1y2(kx1b)(kx2b)kx1x2kb(x1x2)b22,b4k22214k显然,曲线C与x轴的负半轴交于点A2,0,uuuruuur所以APx12,y1,AQx22,y2.uuuruuur0,得(x1由APAQ2)(x22)y1y20.将②、③代入上式,整理得12k216kb20.5b所以(2kb)(6k5b)0,即b2k或b6①k.经检验,都符合条件52,0当b2k时,直线l的方程为ykx2k.显然,此时直线l经过定点点.即直线l经过点

3、A,与题意不符.当b6k时,直线l的方程为ykx6kkx6.555显然,此时直线l经过定点60点,满足题意.,5综上,k与b的关系是b6k,且直线l经过定点6,0552.已知椭圆C:x2y21(ab0)的离心率为1,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的a222b圆与直线xy60相切.⑴求椭圆C的方程;⑴设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连结PB交椭圆C于另一点E,证明直线AE与x轴相交于定点Q;uuuuruuur⑴在⑴的条件下,过点Q的直线与椭圆C交于M,N两点,求OMON的取

4、值范围.【解析】⑴x2y21.43⑴由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为yk(x4).yk(x4),222222得(4k3)x32kx64k120.①由xy431.设点B(x1,y1),E(x2,y2),则A(x1,y1).直线AE的方程为yy2y2y1(xx2).x2x1令y0,得xx2y2(x2x1).y2y1将y1k(x14),y2k(x24)代入整理,得x2x1x24(x1x2).②32k264k2x1x28由①得x1,x1x212代入②整理,得x1.x224k234k3所以直线AE与x

5、轴相交于定点Q(1,0).4,54⑶.3x2y21(ab0)的一个顶点与抛物线C:x243y的焦点重合,F1,F2分.设椭圆C:2b2a别是椭圆的左、右焦点,且离心率e1,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点.2⑴求椭圆C的方程;uuuuruuur⑴是否存在直线l,使得OMON2.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】⑴x2y21.43⑴由题意知,直线l与椭圆必有两个不同交点.①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.②设存在直线l为yk(x1)(k0),且M(x1,y1),N(x2

6、,y2).22xy1,得(34k2)x28k2x4k2由43120,yk(x1)x1x28k22,x1x24k2122,uuuuruuur34k34kOMONx1x2y1y2x1x2k2[x1x2(x1x2)1](12)4k212k28k2k25k2122,k3232324k4k4k所以k2,故直线l的方程为y2(x1)或y2(x1).本题直线l的方程也可设为myx1,此时m一定存在,不能讨论,且计算时数据更简单.224.如图,椭圆C1:x2y21ab0的离心率为3,x轴被曲线C2:yx2b截得的线ab2

7、段长等于C1的长半轴长.⑴求C1,C2的方程;⑴设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E.①证明:MD⊥ME;l,使得S117②记△MAB,△MDE的面积分别是S1,S2.问是否存在直线?请S232说明理由.【解析】⑴x2y21,yx21.4y⑴①由题意知,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为ykx.Aykx2ED由2得xkx10,Oyx1xB设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1,x2是上述方程的两M个实根,于是x1x2k,x1x21.又

8、点M的坐标为0,1,y11y21kx11kx21k2x1x2kx1x211,所以kMAkMBx1x2x1x2x1x2故MAMB,即MD⊥ME.②设直线KM的斜率为k1,则直线的方程为yk1x1,由yk1x1x0或xk1,则点的坐标为2yx2,解得yyk2Ak1,k11.1111又直线MB的斜率为1,同理可得点B的坐标为1,11.k1k1k12于是S1111k12

9、k1

10、11

11、1

12、1k2

13、MA

14、

15、MB

16、2k12k11.22

17、k1

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