高中三角形中的常见结论.docx

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1、高中三角形中的常见结论A以下很多结论都是只有在三角形中才成立的，离开三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．这个前提条件就不一定成立！cb．．．．．．．．．．．．．在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c。1、内角和定理：ABC。BaC2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立，即：abAB，abAB，abAB。3、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即：abc，acb，bcaabc，acb，bca4、三角形的四心：外心：外接圆圆心，三边中垂线的交点。内心：内切圆圆心，三内角角平分线的

2、交点。垂心：三边高线的交点。重心：三边中线的交点。重心G的性质：（1）重心G是中线的三等分点；uuuruuuruuur0；（2）GAGBGC（3）若A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则Gx1x2x3,y1y2y3。33等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。等边三角形四心合一。abc2R（R为ABC外接圆的半径）。5、正弦定理：sinCsinAsinB正弦定理的变形：（1）abbcacsinB，，；sinAsinBsinCsinAsinC（2）asinBbsinA，absinAasinB，sinA；sinBb（3）a

3、2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；（4）sinAabc；，sinB，sinC2R2R2R（5）a:b:csinA:sinB:sinC；（6）abca。sinC2RsinAsinBsinA正弦定理的用途：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边和另两角；（此种情况一定要注意如何取舍角，利用内角和定理、边角关系进行取舍！）（3）判断三角形的形状。（边化角或角化边）16、余弦定理：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC或cosAb2c2a2a2c2b2a2b2

4、c2。2bc，cosB2ac，cosC2ab余弦定理的用途：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边及其夹角，求另一边和另两角；（3）判断三角形的形状。余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。cosC0C为锐角c2a2b2cosC0C为直角c2a2b2cosC0C为钝角c2a2b27、三角形内的诱导公式：sin(AB)sinCcos(AB)cosCtan(AB)tanCsinABcosCcosABsinCtanABcotC2222228、对任意三角形ABC，都有sinA0。9、sinAsinBABab，sinAsinBABab，sinAsi

5、nBABab。10、若sin2Asin2B，则AB或AB。211、sin(AB)0AB12、在ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解（即存在）的充要条件是cosAcosB0。（也可以用9中的结论来判断）13、在ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC。14、在ABC中，A、B、C成等差数列B60o。15、ABC为正三角形A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列。16、ABC的面积公式：（1）S1aha1bhb1chc（ha，hb，hc分别为a,b,c边上的高）222（2）S1absinC1bcsinA1acsin

6、B222217、正余弦定理综合：sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosAsin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosBsin2Csin2Asin2B2sinAsinBcosCA18、射影定理：abcosCccosBbacosCccosAcacosBbcosA19、角平分线定理：AD为ABC的角平分线，则ABBDACCDBDC20、ABC的面积公式：（1）S1aha1bhb1chc（ha，hb，hc分别为a,b,c边上的高）222（2）S1absinC1bcsinA1acsinB222（3）S2R2sinAsinBsinC（R

7、为ABC外接圆的半径）（4）Sabc4Rabc（5）Sp(pa)(pb)(pc)（其中p）1r(a2（6）Srpbc)（r为ABC内切圆的半径）221、直角三角形中的结论：（1）两锐角互余，即AB90o。（2）30o角所对的直角边等于斜边的一半。（3）勾股定理：a2b2c2。（4）斜边上的中线等于斜边的一半，外接圆的圆心为斜边的中点，垂心为直角顶点。（5）如图可得：RtABC∽RtACD∽RtCBD（6）由（2）可得直角三角形中的射影定理：CAC2ADABBC2BDBACD2DADBADB3