正方形中的常见结论

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1、专题正方形中的常见结论及其应用【结论一】正方形ABCD中，①AE=DF②AE⊥DF以上两点可以互推扩展：将上图中的AE、DF进行平移，始终保持①AE=DF或②AE⊥DF结论依然成立例题1、如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则AP=________cm.变式1、正方形ABCD中，点M在AB上，点N在CD上，点P在BC上，MN⊥AP于E(1)求证：AP＝MN(2)点F在MN上，若EF＝EA，连CF，点G为CF的中点，连DG，求证：DE＝DG(3)在(2)的条件下，若DA＝DE，DN＝

2、，BM＝2，求DG的长【结论二】P为正方形对角线AC上一点，则△ABP≌△ADP；△AEP≌△AFP；△ABE≌△ADF；△CBP≌△CDP；例题2、正方形ABCD中，点P为CD上一点，线段AP的垂直平分线MN交BD于点N，点M为垂足，交两边于点E、F，连接PN，则下列结论，①AP＝EF②PC＝BN③为常数；④∠DNP＝∠DAP。其中正确的结论个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个变式2、平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为(0，8)，OF

3、＝3，求P点坐标（2）如图2，若点M位线段OP的中点，连接AB交EF于点N，求证：MN＝EF；（3）如图3，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，作∠MCB的角平分线交射线AM于点Q，连接OQ、BQ，求的值．【结论三】M为正方形ABCD对角线BD上一点，N为BC上一点，AM延长线交CD于Q，AN交BD于E①AM=MN②AM⊥MN③AQ平分∠DQN（或AN平分∠BNQ）④∠QAN=45°⑤DQ+BN=QN⑥CN=DM以上六点知道其中任何一个成立都可以得到其它结论的成立例题2、如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于点M，过点M作MN⊥AM交BC于点N

4、，连接AN，QN，下列结论：①MA=MN；②∠QAB=∠AQN；③S△AQN=S五边形ABNQD；④若QD=QC，则QD:NB=3：2，其中正确的结论有()个A．1B.2C.3D.4变式2、在平面直角坐标系中，已知：正方形OABC的面积为16，点A，C在坐标轴的正半轴上．（1）直接写出点B的坐标为______________；（2）如图1，点P在AB上，点N在x轴上，OM⊥PN于M，AP＝1，OM＝OC，求点N的坐标；（3）如图2，点D(m，n)是对角线AC（不含两端点）上一点，DE⊥OD交直线BC于点E(a，b)．①直接写出m，n之间满足的数量关系式是_______________；②探

5、究b与AD之间的数量关系式，并证明．【结论四】E为正方形ABCD的边AD上一点，P在BE的延长线上，连PA、PC、PD，AM⊥BP①∠APC=90°（或∠BPD=90°）②∠APB=45°（或∠CPD=45°）③∠BPC=45°④PB平分∠APC⑤PC平分∠BPD以上五点其中任意一点成立，其它结论均成立扩展：以上五点其中任意一点成立时，均有以下三个结论成立①(或)②③例题4、将△ABE沿直线BE折叠，A点落在正方形ABCD内部的F点，直线CF交直线BE于P，求证：①BP⊥DP；②CF=PD变式4、如图，M、N分别是正方形ABCD中CB、DC的延长线上的点，且DN-BM=MN（1）求证：∠M

6、AN=45°（2）若DP⊥AN交AM于P，求证PA+PC=PD