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1、精品文档矩阵的秩的性质和矩阵秩与矩阵运算之间的关系要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。”那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵
2、以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质：1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。2、秩为r的n级矩阵（nr），任意r+1阶行列式为0，并且至少有一个r阶子式不为0.3、rank(AB)min{rank(A),rank(B)}rank(A)rank(A')，rank(AB)rank(A)rank(B)rank(kA)rank(A)4、设A是sn矩阵，B为ns矩阵，则rank(A)rank(B)nrank(AB)min{rank(A),rank(B)}5、设A是sn矩阵，P,Q分别是s,n阶可逆矩阵，则rank(PA)r
3、ank(AQ)rank(A)。1欢迎下载精品文档6、设A是sn矩阵，B为ns矩阵，且，则AB=0rank(A)rank(B)n7、设A是sn矩阵，则rank(AA')rank(A'A)rank(A)其中，也涉及到线性方程组解得问题：8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A，rank(A)n则方程组有惟一非零解，rank(A)n则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则，非齐次线性方程组有解时，rank(A)n惟一解，rank(A)n有无穷多解。还有满秩矩阵：9、可逆满秩10、行（列）向量组线性无关，即n级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为n。扩展
4、到矩阵的分块后：A10rankrank(A1)rank(An)11、0AnACrankrank(A)rank(B)12、0B。2欢迎下载精品文档证明：1、先证明初等变换不会改变秩，就先从行秩开始。设矩阵A的行向量组是1，2s，设A经过1初等变换j+i*k变成矩阵B，则B的行向量组是1,,i,,kij,,s，显然，1,,i,,kij,,s可由1，2s线性表出，由于j1k(ijk)i，2s也可由1,,i,,kij,,s线性，因此1表出，于是它们等价，而等价向量组有相同的秩，因此A的行秩等于B的列秩。容易证明，2型和3型初等变换亦使所得矩阵的
5、行向量组与原矩阵等价，从而不改变矩阵的行秩。进而列秩也可以得到证明，又已知阶梯形矩阵的行秩与列秩相同，那么，讲一个矩阵通过初等变换得到阶梯形矩阵，行秩等于列秩的性质便得证。2、设sn矩阵A的秩为r，则A的行向量组中有r个线性无关的向量，设A的第i1,,ir行向量线性无关，它们组成一个矩阵A1（称A1是A的子矩阵），由于A1的行向量组线性无关，因此A1的行秩为r，列秩也为r。于是A1又r列线性无关。设A1的第j1,,jr列线性无关，它们组成A1的一个子矩阵A2的列向量组线性无关，因此
6、A2
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