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1、复数一、知识点梳理:1、i的周期性:i4=1,所以,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1nZi4ni4n1i4n2i4n30nZ2、复数的代数形式:abia,bR,a叫实部,b叫虚部,实部和虚部都是实数。Cabi
2、a,bR叫做复数集。NZQRC.3、复数相等:abicdiac且b=d;abi0a0且b=0实数(b=0)4、复数的分类:复数Zabi一般虚数(b0,a0)虚数(b0)0,a0)纯虚数(b虚数不能比较大小,只有等与不等。即使是3i,62i也没有大小。uuruur为复数z的模,z
3、abi
4、a2b2
5、;5、复数的模:若向量OZ表示复数z,则称OZ的模r积或商的模可利用模的性质(1)zLzzz2Lz,(2)z1z1z01n1nz2z226、复数的几何意义:复数zabia,bR一一对应复平面内的点Z(a,b)复数Zabia,b一一对应uurR平面向量OZ,7、复平面:这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面,其中x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z1与z2的和:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.a,b,c,dR
6、复数z与z的差:z-z=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.a,b,c,dR1212复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义:复数z1=a+bi,z2=c+dia,b,c,dR;OZ=OZ1+OZ2=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)iuururuuuuruuuur复数减法的几何意义:复数z1-z2的差(a-c)+(b-d)i对应由于Z2Z1OZ1OZ2,两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9.特别地,zuuurABzB-zA.,zABuuurA
7、BzBzA为两点间的距离。
8、zz1
9、
10、zz2
11、z对应的点的轨迹是线段Z1Z2的垂直平分线;
12、zz0
13、r,z对应的点的轨迹是一个圆;
14、zz1
15、
16、zz2
17、2aZ1Z22a,z对应的点的轨迹是一个椭圆;
18、zz1
19、
20、zz2
21、2aZ1Z22a,z对应的点的轨迹是双曲线。z1z2z1z2z1z210、显然有公式:2222z1z1z2z22z1z211、复数的乘除法运算:复数的乘法:12=(+)(+)=(ac-)+(+).a,b,c,dRzzabicdibdbcadi复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。*实数集R中正整数指数的运算律,在复
22、数集C中仍然成立.即对z,z,z∈C及m,n∈N有:123mnm+nmnmn(zz)nnnzz=z,(z)=z,=zz.1212z1(a+bi)(c+di)=abiacbdbcada,b,c,dR,分母实复数的除法:z2c=c2d2c2d2idi数化是常规方法12、共轭复数:若两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫互为共轭复数;特别地,虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数;zabi,zabia,bR,两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。z
23、z
24、a2b2zza2b2R,zzzz,z1z2z1z2,z1z2z1z
25、2,z1z122z2z213、熟记常用算式:1i,(1i)22i,(1i)22i,1ii,1iii1i1i14、复数的代数式运算技巧:(1)①(1i)22i②(1i)22i1ii1ii③1i④1i13i(2)“1”的立方根22的性质:111①312③120④⑤②15、实系数一元二次方程的根问题:(1)当b24ac0时,方程有两个实根x1,x2。(2)当b24ac0时,方程有两个共轭虚根,其中x1x2。此时有x12x2x1x2c且x1,2bi。2a2a注意两种题型:(1)x1x2(2)x1x2虚系数一元二次方程有实根问题:不能用判别
26、式法,一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知x2x1是实系数一元二次方程ax2bxc0的两个根,求x2x1的方法:(1)当b24ac0时,x2x1(x124x1x2b24acx2)a(2)当b24ac0时,x2x1(x1x2)24x1x24acb2a已知x1,x2是实系数一元二次方程ax2bxc0的两个根,求x2x1的方法:(1)当b24ac0时,①x1x20,即c0,则x2x1x1x2baa②x1x20,即c0,则x2x1x1x2(x1x2)24x1x2b24acaa(2)当b24ac0时,x2x12x12x1x22c
27、a二、典例分析:(1+i)2等于()例1.(1)复数1-iA.1-iB.1+iC.-1+iD.-1-i解析:(1+i)22ii(1i)1i,选C.复数=11-ii(2)若复数z同时满足z-z=2i,z=iz(i为虚数单位),则z=.解:已知ZiZ2