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1、复数一、知识点梳理：1、i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1nZi4ni4n1i4n2i4n30nZ2、复数的代数形式：abia,bR，a叫实部，b叫虚部，实部和虚部都是实数。Cabi
2、a,bR叫做复数集。NZQRC.3、复数相等：abicdiac且b=d；abi0a0且b=0实数(b=0)4、复数的分类：复数Zabi一般虚数(b0,a0)虚数(b0)0,a0)纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3i,62i也没有大小。uuruur为复数z的模，z
3、abi
4、a2b2
5、；5、复数的模：若向量OZ表示复数z，则称OZ的模r积或商的模可利用模的性质（1）zLzzz2Lz，（2）z1z1z01n1nz2z226、复数的几何意义：复数zabia,bR一一对应复平面内的点Z(a,b)复数Zabia,b一一对应uurR平面向量OZ，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.a,b,c,dR
6、复数z与z的差：z-z=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.a,b,c,dR1212复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+dia,b,c,dR；OZ=OZ1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)iuururuuuuruuuur复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(a－c)+(b－d)i对应由于Z2Z1OZ1OZ2，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9.特别地，zuuurABzB－zA.，zABuuurA
7、BzBzA为两点间的距离。
8、zz1
9、
10、zz2
11、z对应的点的轨迹是线段Z1Z2的垂直平分线；
12、zz0
13、r，z对应的点的轨迹是一个圆；
14、zz1
15、
16、zz2
17、2aZ1Z22a，z对应的点的轨迹是一个椭圆；
18、zz1
19、
20、zz2
21、2aZ1Z22a，z对应的点的轨迹是双曲线。z1z2z1z2z1z210、显然有公式：2222z1z1z2z22z1z211、复数的乘除法运算：复数的乘法：12=(+)(+)=(ac－)+(+).a,b,c,dRzzabicdibdbcadi复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。*实数集R中正整数指数的运算律,在复
22、数集C中仍然成立.即对z,z,z∈C及m,n∈N有:123mnm+nmnmn(zz)nnnzz=z,(z)=z,=zz.1212z1(a+bi)(c+di)=abiacbdbcada,b,c,dR，分母实复数的除法：z2c=c2d2c2d2idi数化是常规方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；zabi,zabia,bR，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。z
23、z
24、a2b2zza2b2R,zzzz，z1z2z1z2,z1z2z1z
25、2,z1z122z2z213、熟记常用算式：1i，(1i)22i，(1i)22i，1ii，1iii1i1i14、复数的代数式运算技巧：（1）①(1i)22i②(1i)22i1ii1ii③1i④1i13i（2）“1”的立方根22的性质：111①312③120④⑤②15、实系数一元二次方程的根问题：（1）当b24ac0时，方程有两个实根x1,x2。（2）当b24ac0时，方程有两个共轭虚根，其中x1x2。此时有x12x2x1x2c且x1,2bi。2a2a注意两种题型：(1)x1x2(2)x1x2虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别
26、式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知x2x1是实系数一元二次方程ax2bxc0的两个根，求x2x1的方法：（1）当b24ac0时，x2x1(x124x1x2b24acx2)a(2)当b24ac0时，x2x1(x1x2)24x1x24acb2a已知x1,x2是实系数一元二次方程ax2bxc0的两个根，求x2x1的方法：（1）当b24ac0时，①x1x20,即c0，则x2x1x1x2baa②x1x20,即c0，则x2x1x1x2(x1x2)24x1x2b24acaa（2）当b24ac0时，x2x12x12x1x22c
27、a二、典例分析：(1+i)2等于()例1．（1）复数1－iA.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i解析:(1+i)22ii(1i)1i，选C．复数=11－ii（2）若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝．解：已知ZiZ2
