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1、复数一、知识点梳理：1、i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=12、复数的代数形式：，叫实部，叫虚部，实部和虚部都是实数。叫做复数集。NZQRC.3、复数相等：；4、复数的分类：虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是也没有大小。5、复数的模：若向量表示复数z，则称的模r为复数z的模，；积或商的模可利用模的性质（1），（2）6、复数的几何意义：复数复平面内的点，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
2、，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+di；=+=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(a－c)+(b－d)i对应由于，两个复数的差z－z
3、1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9.特别地，zB－zA.，为两点间的距离。z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线；，z对应的点的轨迹是一个圆；，z对应的点的轨迹是一个椭圆；，z对应的点的轨迹是双曲线。10、显然有公式：11、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zm
4、n,(z1z2)n=z1nz2n.复数的除法：(a+bi)(c+di)==，分母实数化是常规方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。，13、熟记常用算式：，，，，14、复数的代数式运算技巧：（1）①②③④（2）“1”的立方根的性质：①②③④⑤15、实系数一元二次方程的根问题：（1）当时，方程有两个实根。（2）当时，方程有两个共轭虚根，其中。此时有且。注意两种题型：
5、虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：（1）当时，(2)当时，已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：（1）当时，①即，则②即，则（2）当时，二、典例分析：例1．（1）复数等于()A.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i解析:复数=，选C．（2）若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝．解：已知；（3）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.ad－bc=0B.a
6、c－bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=0解析：（1）复数=为实数，∴，选D；（4）已知（）(A)1+2i(B)1－2i(C)2+i(D)2－i解析：，由、是实数，得，∴，故选择C。（5）设为实数，且，则。解析：，而所以，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4。点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。例2：（1）计算：答案：（2）设复数z满足关系，求z；解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得由复数相等可得：，解得，所以设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。（3）若，解方程
7、解：设x=a+bi(a,b∈R)代入条件得:,由复数相等的定义可得：,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。例3：(1)复数z满足，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线解：令z=x+yi（x，y∈R），则x2+(y+1)2－[x2+(y－1)2]=1，∴y=1/4。故选A。（2）设复数z满足：，求
8、z
9、的最大值与最小值；解：
10、z
11、的最大值为，最小值为；（3）已知z∈C，
12、z－2
13、=1且复数z－2对应的点落在直线y=x上，求z。解：设z－2=a+ai，∵
14、z－2
15、=1
16、，∴，∴或。【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi再利用条件，但运算复杂。(4)设，则复数，在复平面内对应的图形面积为_______。解：∵
17、u
18、=
19、
20、•
21、1+i
22、=
23、z
24、，∴≤
25、u
26、≤2，故面积S=。【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。例4：已知z=1+i，a，b为实数，(1)若ω=z2+3－4,求
27、ω
28、;(2)若，求a，b的值。解：（1）ω=(1+i)2+3(1－i)－4=―1―i，∴。（2）由条件，∴，∴
