高中数学竞赛讲义——复数

《高中数学竞赛讲义——复数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、高中数学竞赛讲义复数一、基础知识1．复数的运算法则：三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1••z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，或记为z1z2=r1r2；2．棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).3．开方：若r(cosθ+isinθ)，则，k=0,1,2,…,n-1。4．方程记为：称为1的次单位根。由棣莫弗定理，全部次单位根可表示为。关于单位根，有如下常用性质：；任意两个单位根的乘积仍为一个次单位

2、根，且（1）；（2）设为整数，，则（3）1+z1+z2+…+zn-1=0；（4）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-z1)(x-z2)…(x-zn-1)=(x-z1)(x-)…(x-).特别地：1的立方根有：1，ω＝－＋i，＝－－i（1）ω3＝3＝1（2）1＋ω＋ω2＝0或1＋＋2＝0（3）ω＝1（4）ω2＝，2＝ω第13页共13页（5）(1±i)2＝±2i，(3±4i)2＝－7±24i5．代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。6．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。7．

3、若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac<0时方程的根为二、基本方法1．三角形式的应用。例1．设n≤2000,n∈N，且存在θ满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？[解]由题设得，所以n=4k+1.又因为0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以这样的n有500个。2．二项式定理的应用。例2．计算：（1）；（2）[解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二项式定理(1+i)100==)+()i，比较实部和虚部，得=-250，=0。5．设n=2001，则.3．复数乘法

4、的几何意义。例3．以定长线段BC为一边任作ΔABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求证：MN的中点为定点。[证明]设

5、BC

6、=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2,z3,，由复数乘法的几何意义得：，①，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=,为定值，所以MN的中点P为定点。第13页共13页例4．设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：AB•AD+BC•AD≥AC•BD。[证明]

7、用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为

8、A-B

9、•

10、C-D

11、+

12、B-C

13、•

14、A-D

15、≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以

16、A-B

17、•

18、C-D

19、+

20、B-C

21、•

22、A-D

23、≥

24、A-C

25、•

26、B-D

27、,“=”成立当且仅当，即=π，即A，B，C，D共圆时成立。不等式得证。4．复数与轨迹。例5．复平面上动点的轨迹方程为，为定点，；另一动点Z满足，求点Z的轨迹，并指明它在复平面上的形状和位置。（高中联赛，1988）yxZ（x，y）rO图4.5.1解：由知，所以，代入得。变形为，表示Z是以为中心，为半径的圆周，

28、但应除去原点。例6．ΔABC的顶点A表示的复数为3i，底边BC在实轴上滑动，且

29、BC

30、=2，求ΔABC的外心轨迹。[解]设外心M对应的复数为z=x+yi(x,y∈R)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为

31、z-b

32、=

33、z-3i

34、，BC的垂直平分线的方程为

35、z-b

36、=

37、z-b-2

38、，所以点M对应的复数z满足

39、z-b

40、=

41、z-3i

42、=

43、z-b-2

44、，消去b解得所以ΔABC的外心轨迹是轨物线。第13页共13页例7：设m、n为非零实数，i为虚单位，C，则方程①与②如图，在同一复平面内的图形（F1、F2是焦点）是（）【思路分析】

45、可根据复平面内点的轨迹的定义；也可根据m、n的取值讨论进行求解.【略解】由复平面内点的轨迹的定义，得方程①在复平面上表示以点为焦点的椭圆，.这表明，至少有一焦点在下半虚轴上，可见（A）不真.又由方程①，椭圆的长轴之长为n，∴

46、F1F2

47、

48、OF1

49、=n，可见（C）不真.又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即故在图（B）与（D）中，均有F1:－ni，F2:mi，且.由方程②，双曲线上的点应满足，到F2点的距离小于该点到F1点的距离.答案：（B）【别解】仿上得n>0