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《数学竞赛教案讲义(15)——复数》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第十五章复数一、基础知识1.复数的定义:设i为方程x2=-1的根,i称为虚数单位,由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi(a,b∈R)的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2复数的几种形式。对任意复数z=a+bi(a,b∈R),a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).z=ai称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么z与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集
2、合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x轴称为实轴,y轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外设z对应复平面内的点Z,见图15-1,连接OZ,设∠xOZ=θ,
3、OZ
4、=r,则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ),这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ),则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π,则θ称为z的辐角主值,w.w.w.
5、k.s.5.u.c.o.m记作θ=Arg(z).r称为z的模,也记作
6、z
7、,由勾股定理知
8、z
9、=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ,则z=reiθ,称为复数的指数形式。3.共轭与模,若z=a+bi,(a,b∈R),则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7)
10、
11、z1
12、-
13、z2
14、
15、≤
16、z1±z2
17、≤
18、z1
19、+
20、z2
21、;(8)
22、z1+z2
23、2+
24、z1-z2
25、2=2
26、z1
27、2+2
28、z2
29、2;(9)若
30、z
31、=1,则。4.复数的运算法则:(1)按代数形式运算加、减
32、、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数;(2)按向量形式,加、减法满足平行四边形和三角形法则;(3)按三角形式,若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1••z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)];若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],用指数形式记为z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),5.棣莫弗定理:[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).6.开方:若r(cosθ
33、+isinθ),则,k=0,1,2,…,n-1。7.单位根:若wn=1,则称w为1的一个n次单位根,简称单位根,记Z1=,则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有(这里记,k=1,2,…,n-1):(1)对任意整数k,若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1,有Znq+r=Zr;(2)对任意整数m,当n≥2时,有=特别1+Z1+Z2+…+Zn-1=0;(3)xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).8.复数相等的充要条件:(1)两个复数实部和虚
34、部分别对应相等;(2)两个复数的模和辐角主值分别相等。9.复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是:z+=0(且z≠0).10.代数基本定理:在复数范围内,一元n次方程至少有一个根。11.实系数方程虚根成对定理:实系数一元n次方程的虚根成对出现,即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根,则=a-bi也是一个根。12.若a,b,c∈R,a≠0,则关于x的方程ax2+bx+c=0,当Δ=b2-4ac<0时方程的根为二、方法与例题1.模的应用。例1求证:当n∈N+时,方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只
35、有纯虚根。例2设f(z)=z2+az+b,a,b为复数,对一切
36、z
37、=1,有
38、f(z)
39、=1,求a,b的值。2.复数相等。例3设λ∈R,若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根,求λ满足的充要条件。3.三角形式的应用。例4设n≤2000,n∈N,且存在θ满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ,那么这样的n有多少个?4.二项式定理的应用。例5计算:(1);(2)5.复数乘法的几何意义。例6以定长线段BC为一边任作ΔABC,分别以AB,AC为腰,B,C为直角顶点向外作等腰直角Δ
40、ABM、等腰直角ΔACN。求证:MN的中点为定点。例7设A,B,C,D为平面上任意四点,求证:AB•AD+BC•AD≥AC•BD。6.复数与轨迹。例8ΔABC的顶点A表示的复数为3i,底边BC在实轴上滑动,且
41、BC
42、=2,求ΔABC的外心轨迹。7.复数与三角。例9已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0,求证:cos2α+cos2β+cos2γ=